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    ぱい
    話題
    円のことで、悩んでおります。
    円周の長さを出すために用いられるのは、円周率です。
    言うまでもなく、円周率は割り切れない無理数であります。

    例えば、
    1メートルの一本の紐があったとします。
    それを端と端をくっつけて、真円を作りました。
    ここで出来る事実は、その円は1メートルの円周であるという事です。
    ある意味、1メートルの円周の円であると決定できると思います。
    しかし円周率の概念では、無限に割り切れない数字になってしまいます。

    そう考えますと、紐で真円を作るという事は絶対に出来ないという事なのでしょうか?


    トピ内ID:7505809392

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    🙂
    パイよりタルトが好き
    円周が1メートルなら、半径(直径でも可)が無理数になるだけです。無理数は割り切れないだけで、存在が「無理」な訳ではありませんよ。実際に紐を切って円を作るなら色々誤差が出ますから、測定できないような小さい桁のことは、あまり問題になりません。

    トピ内ID:9215512012

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    10進法の概念

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    🐱
    neko
    別に算数が得意ではありませんが
    円周率は10進法の概念があるからこそ
    割り切れない数字になるのですよね?

    もし円周率進法の概念があれば
    割り切れる数字となりますよね?

    ○進法の概念は人間が勝手に作ったものです。
    ですから1メートルの一本の紐で新円は出来ます。

    トピ内ID:3218515303

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    逆に考えられないかな?

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    blank
    匿名
    そもそもが長さが割り切れないからという観点がおかしいと思わない?

    長さの単位だって、m(メートル)だけじゃないよね?
    欧米でいまだに使われているyd(ヤード)という単位もあるし、
    日本にだって、尺・寸のような単位があったのです。

    それらの単位の変換だって綺麗に割り切れると思ってますか?

    ちなみに円の周の長さの単位でいえばπ(パイ)というのもあります。
    そうです、円周率という言葉でよく使われてますが、
    高校数学の三角関数における弧度法という単位は半径1の円の周の長さを表します。
    これも単位の1つにすぎません。

    ちなみに実用的なものでいえば、長さを計る道具があります。
    今ではゴルフなどで便利に使われているような電子機器のヤード測定器もありますが、
    マラソンなどの距離を測るときに昔から使われている道具をしってますか?
    1周が1mとなる円盤(タイヤのようなもの)を転がして測定をするのです。

    つまり周の長さが1mと見なされる円は実用的レベルでは作れるということになります。

    トピ内ID:6357620319

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    ん?できるよ。

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    🐱
    緑鍵盤
    なんか、無理数をお化けか幽霊のように思っているみたいだけど、

    ご提示の実験をしたら、直径が1/π (m) になるだけですね。

    直径が1mなら円周はπm
    円周が1mなら直径は1/π m

    --
    「無限に割り切れない」ってのに神秘性を感じているのかな?

    1を3で割っても、2を7で割っても「無限に割り切れない」けど、そっちはあまり問題ではないのかな?


    つーか、円周率を、円周の長さを直径の長さで割ったものと思っているから(それはそれで正しいのですが) 「無限に割り切れない」→「神秘」となっているのかな?

    例えば、
    半径1の円の面積を円周率とする(ご存知の通り、半径×半径×πが面積)
    ってすれば、「割る」わけじゃないから「割り切れない」こともないけどそういうのはヘリクツっぽくて許せないのかな?


    実数なんてのは、「数直線の中の一つの点」として実在すると考えた方が幸せだよ。
    で、円周率π(3.1415・・)は、3と4の間の3に近い辺りに確実に実在するんだけど、それでも「神秘」かな?


    ところで、数直線の1点を適当に選べばほとんど間違いなく(99.9999999%以上)、10進法で書いたら永遠に書ききれないヤツに当たるんだ。

    つまり、実数って、10進法で書いたら永遠に書ききれないヤツが大多数で、むしろ「うまいこと書ききれるヤツ」って、超珍しいエリートなんだけど、そんなこと言われてもつたわらない・・・よね。

    トピ内ID:5738668149

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    円周率とは、円の周囲の長さのことではない

    しおりをつける
    🙂
    いなちゃん
    円周率とは、円周/直径のことであって、円周の長さではないです。
    円周が1メートルの円であれば、直径は「1÷π」メートルとなります。
    永遠に割り切れないのは、この「π」なのですよ。

    トピ内ID:0908612522

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    う~ん

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    blank
    えるま
    そもそも「紐で真円を作る」ことは,紐の長さが何メートルであろうとできないだろうとは思います。

    しかしそれと円周率が無理数であることとは無関係です。数学的には円周が1の円は存在でき,それが無限な数字の無理数になるということはありません。ただその半径や直径は無理数になります。

    さらに「メートル」は,ある長さを便宜的に1単位にしているだけで,メートル表示で無理数であろうと何だろうと,そのために存在できないわけではありません。

    無理数というのは分数で表示できない数というだけで,「一定の大きさを持つ」という点では有理数と特に変わるところはありません。「底辺1,高さ1の三角形は斜辺が無理数になるから作れない」などということはなく,無理数の長さというものはごく普遍的なものです。

    トピ内ID:1919620040

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    そうじゃなくて

    しおりをつける
    🙂
    みちこ
    1mの紐で円を作ったとき、その直径が「割り切れない」数字になるのでは?
    数学得意じゃないですが・・・。

    トピ内ID:7079129562

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    真円は可能

    しおりをつける
    😀
    まも~ん
    でも人間が考えた数字と言うものでは
    キッチリと表せないだけ。

    トピ内ID:8626383889

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    直径が無理数

    しおりをつける
    🙂
    たか
    似たような回答がつくと思いますが、
    その場合は直径が無理数ですよね具体的には1/πです。

    無理数×無理数=有理数になることはあり得ます。
    直径(1/π)×円周率(π)=円周(1)です。

    トピ内ID:4377365440

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    直径と円周の「比率が無限」なだけ

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    🙂
    Sue
    無限に続くのは比率。

    全ての真円に直径は存在します。 

    真円と直径があって、その比を求めると無限に続くだけかと。
    円:直径。比を求めた結果に過ぎない話ですよね、円周率って。

    なのできっちり1mの円周だろうとどの長さの円もありますよ。

    トピ内ID:4652649197

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    屁理屈をこねれば…

    しおりをつける
    blank
    名ばかり臨床検査技師
     どんな手段を使おうと,半径をどれほどと考えようと,「完全な円」なんてものを実現する事は不可能ですよ.いくら精巧に作ろうと(そのつもりになろうと),多少の歪みは避けられませんから.
     仮に,「紐を当初の状態で線と考える」,つまり(常識の範囲で)何らかの誤差を許容するという事になれば,理想に近付くことはできると思われます.半径15.9154943…cmの金属製の円筒でも拵えて,その周囲に紐を巻き付ければ「周の長さ1mの円」ができたように見えます.半径の値を小数第何位まで正確に設定できるか,円筒をどれだけ「真の円」に近づけられるか,が決め手ですが,その辺り,現代の金属加工技術の水準に些かの興味が持てるところでもあります.

    トピ内ID:9354603859

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    算数は苦手ですが…

    しおりをつける
    🙂
    じゅんじゅん
    1mであれ何mであれ、どんな長さの紐でも円は作れますよね。くるっと。
    この場合、「直径」が割り切れない数だという事なのでは?


    円周率が割り切れない、という事にこだわっておられますけど。
    直径が1mの円の円周は1×約3.14で導き出されますから約3.14。つまりおよその数字しか出てきていないわけです。
    逆に円周の長さが1mの円の場合も同じで、計算して導き出される直径は1÷約3.14。こちらもおよその数字でしか表せないだけの事…なのではないですか?

    トピ内ID:1382881548

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    真円はできるでしょ

    しおりをつける
    blank
    チュン夫
    1メートルの円周の円を作って、その直径や半径をメートルで表すと、小数点が無限に並ぶので、真円はできないのではないか。という質問でしょうか。

    2つの角度から考えることができますね。

    一つは、実際の物体を作って作る場合。二つ目は数学的に考える理論的に思考する場合です。

    一つ目の実際の紐などの物体で作るためには、紐を切るという「加工」が必要です。

    「加工」するときに長さを指定しても、加工したら、必ず「誤差」が生じます。

    誤差を少なく指定しても、100分の1ミリメートルとか、1000の1ミリメートルなどと指定して、その精度で切断できる道具や機械を使って加工します。

    切った紐の長さを計測しても、10000分の1ミリメートルなどの誤差は必ず生じます。

    その時点で、「無限の少数」の意味はなくなります。

    そうして作った真円の半径を測定すると、やはり計測装置の誤差の範囲内でしか測定できません。

    結局、小数点以下4桁か5桁より先をいくら計算したところで、その精度で物体の加工や計測はできないので、「メートルやミリメートルの物体の長さ」と円周率何万桁での計算を比較しても意味がありません。

    ※逆に言えば、鉄板で直径30cmの円を作る事ができますが、その円周の長さも(誤差の範囲内で)測定可能です。


    二つ目の数学での理論的思考ですが、これは小数で表記せず、円周率には「パイ」というギリシャ文字を使用することになっています。

    1メートルの真円の直径は「円周の長さ/円周率」なので、「1/パイ」メートルで表すことができます。

    なお、理論的には数直線上にも「パイ」の位置がありますので、「1/パイ」も思考実験上は直線の長さとして表せます。

    なので、理論的にも、1メートルの紐で真円を作った場合の直径や半径も数直線上に位置があるので、真円を作る事は可能です。

    トピ内ID:2496155212

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    その場合、円の直径が無理数になるだけでは?

    しおりをつける
    🙂
    ぴよまる
    直径×π=円周の長さ

    直径=円周長さ÷π

    円周の長さが1mなら直径は1/πm

    トピ内ID:1616595466

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    得意じゃないけど

    しおりをつける
    blank
    yuki
    円周率は単なる比でしょ?

    円の種の長さと直系の比ってだけのことです。

    周の長さがきっかり1メータなら直径がその円周率分の一ってだけのことです。

    円周率の概念は、円の周長と直系の比ってだけのことだと思うよ。

    今の数学、科学の定義では無理数ってだけのことなんじゃない?

    トピ内ID:0195355854

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      トピ主が勘違いしている

      しおりをつける
      😉
      ゴマちゃん
      トピ主さんは何をどう認識しているのでしょうか?

      円周が1mだから割り切れるって
      円周率をどういうものだと認識しているのですか?

      円周率をどうやって求めるものだと認識しているのですか??

      トピ内ID:4918910070

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      普通に考えれば

      しおりをつける
      blank
      え?
      円の周囲は直径×円周率なのだから円周が割り切れる数値ならば直径が割りきれない数値になるだけのことなのでは?

      と、小学生の息子が言っておりますが

      トピ内ID:8107683215

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      レスします

      しおりをつける
      🙂
      パンプキン
      別に算数得意でもなんでもないけど
      円周率って、円周/直径 ですよ。

      これが割り切れないってだけ。

      1メートルの紐で円を作れば、円周1メートルでしょうよ。

      なんでそんなことで悩んでるの?
      そのほうが気になるわ。

      トピ内ID:0233221106

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      同じ事を考えました!!

      しおりをつける
      🙂
      reiko
      私もまったく同じことを考えました!!
      実際に存在しているのに割り切れない無理数ってどういうこと?

      私の中では、実際に存在しているが、10進数の数字としては表現できないのだと思っています。

      一メートルの円周の円は絶対に存在します。
      ただ、その半径を計算上求めるとなると、数字としては表現できない。。。

      1リットルの水を三等分すると、0.33333333が無限に続くような。
      数字上で等分できない。。

      数学ってこういうところが面白いと思ってしまいますよね。

      トピ内ID:3458263043

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      それは、

      しおりをつける
      🐧
      ててて鳥
      1を3で割ると割り切れない数字になりますが、

      その数字に3をかけると1になります。

      それと同じことです。

      トピ内ID:3443115338

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      たとえ話になってしまいますが

      しおりをつける
      😉
      小鮒釣師加野川
      たとえ話になってしまいますが、
      3分の1は割り切れません。0.33333……ですね。

      3分の1 + 3分の1 + 3分の1 = 1 です。
      0.33333…… + 0.33333…… + 0.33333……= 0.99999…… です。

      ということは、1 = 0.99999…… です。

      1= 0.99999…… なんて変でしょう?

      それが算数です。

      トピ内ID:4751490957

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      直径が無理数

      しおりをつける
      🐱
      円周が無理数である必然はないでしょう。

      直径×円周率=円周 =1メートル であり、
      すなわち、直径がメートル法を単位にすると数値が無理数となる円が作れたということではないでしょうか。

      トピ内ID:8697187713

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      観念の世界と現実の世界をゴチャ混ぜにしてますね

      しおりをつける
      😀
      10のマイナス35乗
      >そう考えますと、紐で真円を作るという事は絶対に出来ないという事なのでしょうか?

      面白いことを考えますね。

      それ以前の問題として、1メートル「紐」も作れないということは考えませんでしたか。
      物理的に出来あがったモノは、「約」1メートルの紐でしかありません。モノさしのメモリが最小単位1ミリであれば、99センチ9ミリ以上100センチ1ミリ以下程度の精度の紐は作れるでしょう。しかし、マイクロメートル単位の精度を出すことはできないですよね。
      もちろん、さらにこまかな数値、たとえば10のマイナス63乗(電子ニュートリノの半径)とかの精度は、想像を絶する世界です。人間の作れるモノ(物体)というのはたかだかマイクロメートル程度が限度なのです。
      1メートルという、いかにもはっきりした整数の物体ですら作れないのです。

      なので

      >真円を作りました。

      ということ、概念の中でしかあり得ません。
      人間が製作したものに、真円の物体はナイのです。この世に真円があるとすれば、それは素粒子の世界ではないでしょうか!

      トピ内ID:3581921364

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      円周率の意味

      しおりをつける
      🙂
      まりの
      「円周率」の文字を良く見て、名前の意味を考えてみてください。

      ズバリ「円の大きさ」と「周の長さ」の「比率」です。

      円周率=円周÷直径

      トピ主さんが完璧に作った円周1mの円の直径を完璧に測定することが出来たら、円周率が3.14ではなくて、割り切れないわけです。

      ただ、それを試したいなら、作業手順が逆です。

      まずコンパスで直径10cm、すなわち半径5cmの円を描きます。
      次に、円の周りに糸をのせていき、円周の長さを測ります。

      正確に作れたら糸の長さは31.4cm

      この時の長さ÷10が円周率なのですが、身の回りの道具を駆使しても、割り切れないとはなりません。

      半径を計った時の精度が5.0cmで、長さを測る時も定規の目盛りは1mm単位。

      描く円の半径を5mにすれば、測定可能な精度は100倍になるので、31419mmになるでしょう。50m、500mとどんどん大きくすれば、小さな範囲まで長さが測れるわけです。

      但し現実そんなに上手くはいきません。

      まず直径1000m即ち1kmの円が描ける平らな場所を探さなくてはいけません。

      円の半径を測るにも、描いた円の円周を測るにも、500mや3.1kmがmm単位で測れるメジャーはないでしょう。

      そうなると今度は、作業の誤差が大きくなってしまいます。
      それが無視出来たとしても、得られる円周率の値は小数点以下第6位まで。

      目盛りの小さな定規を作るとしても、人の目で見分けられる長さを考えたら、限界があります。

      そうなると円周率が割り切れない証明をこの方法でするのはやはり無理です。

      では、どうすれば良いのか?
      内接円と外接円から数学的に証明出来ます。

      昨年夏の中学生の読書感想文の課題図書に
      『円周率の謎を追う 江戸の天才数学者・関孝和の挑戦』
      と言う本がありました。

      読みやすく面白いので読んでみて下さい。

      トピ内ID:7890888610

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      円周率の定義

      しおりをつける
      🙂
      シジジ
       円周率とは、円周の長さと直径との比の値です。
       なので、円周の長さが1ならば、直径をdとすると、
       1/dが円周率となります。
       このとき、直径dは1/円周率となり、無理数となります。
       それだけのことで、不思議でもなく、何の問題もありません。
       ただ1mの紐の端と端をつないで1mの円周をつくるというように、具体的な物で考えるのでは、いくら正確にやろうとしても、例えば1mmの何万分の1とかの誤差がどうしてもでてきますので、不可能です。
       あくまでも頭の中で考えるだけのことですね。

      トピ内ID:4545544679

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        円周率は関係ない

        しおりをつける
        海坂
        >1メートルの円周の円であると決定できる

        出来るといっておきながら、後で絶対に出来ないという事なのでしょうかとは、矛盾過ぎていますよ。

        1メートルの紐の場合、円周率は関係ありません。

        直径の長さが分かる必要がないからです。

        この場合、無限に割り切れない数字になるのは直径です。

        トピ主さんは、1メートルの紐の端と端をくっけて真円を作ったのですよね。

        それで解決していますよ。

        トピ内ID:9396420252

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        失礼、勢いで書いて間違えてました。

        しおりをつける
        blank
        匿名
        弧度法は半径1の円周の長さは2π(パイ)で直径1の円周がπですね。

        ついでにもう1つ、紐やロープで円を作るという話をする場合の話です。
        メートル法で割り切れない長さだから1周1mの円は作れない…

        という話が現実ならもっと深刻な問題が出てきます。
        逆もまた然りであって、直径1mの円を作る紐を本当に正確に計って切り取れません。
        なぜなら、3.14926…と永遠に続く数字なのでメートル法の単位で計れる器具でも
        どこで切ればよいかを小数点以下第何位まで追究できるかという話になります。

        でも実際は小数点以下5~6桁の概数で直径1mの円と見なされる輪は
        実用レベルでは作ることが可能ってなりますね。

        それを超えると算数・数学などの理論の話を超えたものになってしまうのです。
        工業的な製造過程の話となるので、紐の太さを考慮に入れた話になってしまいます。
        仮に紐の太さが5mmあれば輪の外側と内側の直径は10mmの差が出てきます。
        つまり内側で計ったときの円周と外側で計った時の円周の長さも31.4926…mmの差がでる。

        でもそれも現実的に作るとなると、紐の伸縮などでカバーがされてしまうでしょう。

        こういった話というのはどうしても理論上の話と現実の話の間に差が生まれてしまいます。
        算数などで扱う円というものは理論上の話なので理想のモノとして
        実在する紐の太さがない=太さが0として考えてしまうのです。

        それを実際に作るという現実論になると紐には太さがあることで影響をうけることがわかる。

        トピ内ID:6357620319

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        概念と実在に分けて

        しおりをつける
        🙂
        理論物理屋
        円周 1m の真円は直径が 1/π で(たぶん)無理数になる。
        直径 1m の真円は円周がπで無理数。
        「あちらを立てればこちらが立たず」なだけ。
        数学上(概念上)はこれらの真円が存在することは明らか。

        トピ主さんの疑問をイマイチ把握しきれないので、、
        無理数を「割り切れない」と勘違いなさっていることから、
        円周 1m なら定規や計測器に表示される数値を使って測れるが、
        円周πm はその数値を「表示」出来ないので測れない(「無理数ちょうど」は存在しない)。
        矛盾している、ということだと仮定します。(じゃあ割り切れない 1/3 m はどうやって測る??)

        でも実は、
        1m の紐を用意することとπm の紐を用意することは、全く同じ意味で無理なんです。
        どちらの方が難しいという事は原理的にはありません。全く同じ。

        その理由は物理学的なものです。
        量子論的に、無限大の精度を得ることが不可能。
        相対論的に、長さを歪ませる重力の影響を排除することが不可能。
        そしてこれらを合わせて(おそらく)ミクロレベルでは時空そのものがゆらいでいます。

        つまり、約πm しか用意出来ないのと同様、約 1m しか絶対に用意出来ないんです。

        そもそも紐の切り口は原子レベルではデコボコで、円も必ず歪みます。紐の太さも邪魔をします。

        というように、
        むしろこの世の物理量=実在は全て「無理数」的なんです。

        逆に言えば、
        仮に 1m ちょうどを用意できるのなら、
        例えば直角二等辺三角形の斜辺、あるいは正方形/菱形の対角線を使って無理数ちょうどの長さも用意出来る気がしませんか?

        紐で真円を作ることは絶対に出来ない。
        ただしその理由は円周率が無理数だからではなく、私たちが生きるこの世界の性質のせいです。

        πという無理数の概念を x^2+y^2=1 で有限に書けることが不思議、という感想なら同意します。

        トピ内ID:2150334446

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        いまいちご質問の要領をえないのですが、

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        🙂
        江戸川利根
        もしかしてこういう事を仰りたいのかな?

        1mの紐がある。これを円周に巻きつけて真円を作りたい
        すなわち
        円周1mの真円をどうやって作る?半径rとするとr=1/2π (m) はわかる。1mは物差しがあるのだから測り取れる、小数なら何とか作図できるだろう。しかし、円周1mの円を作図するため必要な 1/2π (m)は、どうやって作図しコンパスにとるのか?できればユークリッド幾何で、あるいは高等数学を使って作図できないか。

        <<命題>>長さ1の線分が与えられている。この時
        (1) r=1/2π (πは円周率)として、rの長さを作図せよ
        (2) 円周 1 の円を作図せよ。
        (使っていいのは定規、コンパス、あとは計算用紙)

        これを解いてみて、という事だと思ったのですが如何ですか?
        私には、うーん、解けません。

        トピ内ID:2270097768

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        作り方、で悩む?

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        🙂
        多胡天
        真円を描く道具、と言えばコンパス。
        「半径が無理数だとコンパスの開きを固定できないから、円周が1m丁度の円が描けない。」
        目印になる円を描けない以上、それに沿って紐で真円を作れない。
        そういう事なのでしょうか?

        1÷3.14÷2=0.15923・・・
        コンパスを159mmに開き描いた円と160mmに開いた円を描き、2本の線の間の内側寄りに紐を沿わせ両端がピッタリくっつくように置けば『真円もどき』が出来ます。
        (紐の太さを考慮していない「作り方」なので円周線の視認は難しそうですが)

        『理学的』には製作過程を無視して構わないから、円周がどんな値だろうと、どんな材料を使おうと、真円を作る事は可能です。
        でも『工学的』には、どんなにきれいな数値の直径真円だろうと、どんな材料を使おうと、いくら頑張っても真円はできません。

        ふにゃふにゃの紐だとヨレてカーブが綺麗に決まらなかったり、過不足なく端同士を合わせるのは「難しいだろうな。」と想像できます。
        同じように、硬い金属だろうが“加工”が出来る以上、そこには加工精度が生まれてしまいます。
        材料切断の精度、曲率加工精度、両端固定時の精度、・・・。
        たとえ小数点以下何桁まで精度を極めたとしても、どこかで加工技術の限界が来てしまい結局は『真円もどき』しか作る事はできません。
        しかし同時に工業製品は用途があってはじめて製作されるので、使用に支障が無い精度で『有効桁数』を設定しそれを“仕様”として定めます。
        『有効桁数』の概念を取り入れてはじめて、『工学的』にも1メートルの紐を使った真円を作れるようになります。

        トピ内ID:2545590936

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