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    円の中心って・・・

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    小梅
    話題
    小学生の頃から疑問に思ってた事があります。
    円の中心って回っているのかな・・と。
    説明下手なのでわかっていただけるか・・・汗。

    円が回るとき、中心を境に方向がかわってますよね。
    でもどんなに中心にいってもまたその中心ってあるので、その、方向が変わる境にいつまでもたどり着かず答えが出なくて悶々とします。
    どなたか答えご存じないですか?

    ちなみに中学生の頃、母に聞いたら「そんな小難しい事考えてないで普通なこと考えなさい」って言われました 笑

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    詭弁かもしれない

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    算数の先生
    円の中心には「広さ」がありません。ですからどこまで行っても中心にはたどりつけません。
    えいっと近づいても中心から外れたどこか近くに行ってしまいます。だって「広さがゼロ」なんですから。
    円がまわると中心から円周に向かっての方向が変わりますが、中心では方向だけが変わっていて、それを中心にして回っていますので動いていません。まるで「アキレスは亀に追いつけない」の話みたいですね。

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    何を言ってるのか・・・

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    わからん
    >円が回るとき、中心を境に方向がかわってますよね。

    ↑私の頭が悪いせいかあなたが言っている事が理解できません。
    中心を境ってわかりません。


    >円の中心って回っているのかな・・と。

    ↑これはコンパスを使ってノートに円を書く場面みたいです。円を描くときはコンパスの中心の針は回っていますネ。

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    なんとなくわかります

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    20年前の学生
    まだ学生の頃、どこかで聞いたことを、うろ覚えで書いてみます。
    人間というものは、象徴界(言葉の世界)と、現実界とのギャップを、なかなか埋められないそうです。
    象徴界では、点や線は面積を持たない。つまり、本来は目に見えないものなんです。

    しかし、現実界では、点や線を、記号として、目に見える形で認識する機会が圧倒的に多い。そのような世界で生活しているために、点や線に、面積や幅があると思い込んでしまうんですね。

    理論的には分かっていても、頭の中で象徴界での「点」を想像することは本当に難しい。
    今まで生きてきた中での現実界での経験が、象徴界での「点」の存在を素直に受け入れることの邪魔をするのです。

    「円の中心(=点)はどちらに回転するのだろうか?」という疑問が湧くのも、まさに、そういうことではないでしょうか。

    円の中心と聞いて、
    「白い画用紙にコンパスで円を書き、中心にペンで黒いちょんとした点を打つ」
    というものを想像している限り、現実界とのギャップは埋まることはないと思います。

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    深いですねぇ

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    おじさんですが
    なかなかに哲学的な問題ですね。

    哲学と言うと、
    ゼノンの二分法のパラドックスがこれに近い
    響きを持ってますね。
    円の中心から放射状に矢印を引くと
    中心ではどっちも向いていなくて、
    どっちも向いてるから、
    回っていても、回っていない。

    物理的に言うと、
    回っていても、回っている感じがしないって
    感じでしょうか?
    角速度は存在していても、半径に比例する角運動量は
    0なので、「回っている感じがしない」(?)

    でも、「極限」で考えると、
    回っている星がブラックホールになって
    点になっても、回っていた名残の効果は残るって
    本で読んだことがある気がする。

    ごめんなさい、
    答えになっているような、なっていないような、
    でした。

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    定義によるけど

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    匿名おとこ
    回ってるでいいんじゃないでしょうか。

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    円の中心は点・・・距離も面積もない

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    瀬尾 はやみ
    そういう疑問って大事だと思います。私も「変なことにこだわる子」と言われたことがありますが・・・。

    円の中心は点です。点は数学の定義では線の交点であって面積も長さも何もありません。単なる位置を示すものである以上、円が回転しても中心には何の変化も起こらないのです。

    つまり「点」は数学の概念であって、いくら細~く尖らせた鉛筆の先で中心を示したところで、コンパスの先を中心に円を描いたところで、それにはス伝面積があるので、正確には点ではないのです。

    ちなみに、線には長さしかなく、面には広さしかありませんよ。

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    似たような(笑)

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    マル
    ありましたね~、そんな疑問!
    右手の人差し指と親指の先を、モノをつまむ動作のようにゆっくりゆっくり近付けてく。この動きで指と指の間にある『距離』が『ゼロ』になる瞬間(!)を見たいと思っていた頃があります。お風呂や眠る前、学校での休憩時間に、指と指をじっと見つめて一心に空気をつまむ小学1年生でした。

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    点はないかも

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    むつかし~
    A-B地点までには無限の点があるので永遠にたどりつけない…っていうのと似てますね。

    左に回っている大きな円のフチから中心に向かって歩いていくと最初は自分の左から右へ円は回っているけれども、中心を越えると自分の右から左へ円が回るようになる。
    そうしたら中心はどうなっているのか?ということですよね。

    中心は、限りなく小さな点だと思うので、(実在しないモノ)動かないところはないように思います。
    だって地球も軸を中心に回っていますが、軸も回転してますよね。

    円の中心は、便宜上、中心という概念があるだけで実在しないものだと思います。

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    円の中心はありません

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    予備校生
    概念上、中心はありますが・・・円の中心は実存しません。

    円の中心の、そのまた中心、そのまた中心、と無限にさかのぼっていきいつまでたっても中心にはたどりつきません。

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    不動点定理

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    通りすがりm
     「回る」ということの定義が問題になりますが,これを「ある点(例えば,円板の上の任意の1点)が,ある時間後に,別の位置に移動すること」とすると,円の中心点は,回っていません.これは,ブラウアーの不動点定理として知られています.トピ主さんの考え方は,この不動点定理に結びつく中間値の定理の考え方を使っていますね.
     また,円板の回転以外で不動点定理の簡単な例としては,コーヒーカップの中の渦があります.コーヒーカップの中のコーヒーをかきまわすと渦ができますが,これは逆に見ると,渦の中心=不動点が必ずできることを示しています.ちなみに,そのコーヒーカップにスプーンを入れると渦(の中心)は(普通より早く)消えてしまいます.
     またまた,ちなみに,ブラウアーの不動点定理を一般化した角谷の不動点定理は経済学で有名だそうです.というところで,合っているかな?

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    その中心の定義によって・・・

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    バルス
    あまり数学に詳しくありませんが、中心点って、そもそも物理的解釈に基ずく点だと思います。コンパスで絵を描いて、ここが中心点です。っていうのは分かりやすく示す為であって・・・つまり線と同様に面積が存在しない定義だと思うんです。

    だから、点は目に見えるように描いたとしても実際は面積のない部分だから、回転していない。もしくは点というのは概念だけで実際は存在しないという事ではないですか?

    人間は、せいぜい直径0.01mm程度の円を描くのも難関ですが、物理的には直径0.0000・・・1mmの小さな円が存在するのに対して面積を持たない点や線が存在するのかなんて、計り知れませんね。

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    想像するとおもしろ~い。

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    数学大好きヨ♪
     算数の先生も予備校生さんも、アキレスと亀のパラドックっすにはまってますよね。円の中心に、徐々に近づこうとするとたどり着かないというのは、徐々に近づくところで、脳みそ時間がどんどんスローモーションになってるだけです。現実時間で1秒後には、ちゃんと中心にたどり着きます。

     パラドックスに陥らないために、中心は一発でビシッと指しましょう。例え指が太くともビシッと。そこに中心があると信じて。

     それで本題。中心が回っているかどうかですが、中心から距離がないので動かない。つまり回っているようには見えません。でも確かに、「中心さん」は回転する円盤の真ん中で、目を回してへたり込んでいるのではないでしょうか。それはちょうど、右腕と左腕を掴まれてグルグル回されたときのように。

     というわけで、私の答えは「きっと目が回っている。(ぉぃ)」お粗末様でした。

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    こういうのは?

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    あまのじゃっく
    回らない派が多数なようなので敢えて。

    座標上の位置が変わらないこと=回ってない、とはならないのでは?
    透明のアクリル板で円盤を作り、中心とその他任意の点に印をつける。片側から光を当てて、アクリル板の点の影を壁に映しながら回転させる。中心以外の点の影は上下左右位置を変える(回転する)が、中心の影は位置を変えない。座標上の位置は変化しないが、だからといってそれが回っていないということにはならないのではありませんかね?

    あるいは、大きな円盤を作りその真ん中に人を立たせる。その人のどこかに円の中心がきているはず。で、円盤を回転させる。人も回転する。円の中心は回転しない。中心の上にある人の体の一部分も回転しない。体の他の部分は回転しているのに、一点だけ回転していなかったら、たとえ広さや長さを持たなくても……大変なことになりませんか?(笑)

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    円運動と直線運動

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    オーソレミヨ
    >円が回るとき、中心を境に方向がかわってますよね。

    もしかして、例えば円に中心を通る水平線を一本引いて時計回りに線を回した時、右側の円周上の点は下方向に動くのに対して左側のそれは上方向に移動しているように見えることをおっしゃっているのでしょうか?

    もしそうなら、方向は変わっていません。
    どちらも「時計回り」です。
    円運動は始点と終点が同じです。
    直線運動は、始点と終点が離れています。

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    創造すると面白いですね

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    ひよこ
    数学的な定義では回転してないことになりますが、
    物質を回した際の中心の運動を想像すると不思議な感じがしますね。
    中心点の原子は動かずに隣の原子は動いてるのかな。

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      「点」は、位置を示しているだけだから…

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      そふぃあ
      面積も体積もありません。

      もし、「コマ」のような中心棒を「円の中心」と考えるのであれば、
      それは「棒」という円柱状の物質なので、
      「コマと共に回っています」という答えになります。

      「点」は、位置を示す概念上の存在です。

      似たものに、「ゼロ」という数字があります。
      「1」や「2」は、「リンゴが1個」「リンゴが2個」などと対応しますが、
      「ゼロ」というリンゴやミカンは、何処にも存在しません。

      「ゼロ」は、「無い」ということを示す概念です。

      この「ゼロ」という概念を理解しているからこそ、
      「ゼロ」を基点に、「マイナス1」という負の数字を創り出したり、
      「コンマ5」などのように「ゼロ」と「1」の間を際限なく分割できるのです。

      他にも、日常生活の中で、
      「実存すると思っていたけれど、それは概念だった」
      というものは、沢山あります。
      「友情」や「愛情」などは、その最たるものです。

      一度、身の回りの物事を、そんな視点で見詰めなおしてみてください。
      結構、楽しめますよ。

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      小梅さんへ

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      視点を変えて
      >円の中心って回っているのかな・・と。
      トピ主さんは上記内容が疑問点なんですね。

      皆さんが難しい数学の証明を述べているので、私は違った解釈から説明します。

      もし、点自体がかなり大きくて地球の大きさくらいあった場合はどうでしょうか?

      宇宙に静止している衛星から見れば、地球を点と考えると確かに動いている。

      しかし、点の表面に住む人間はどうだろうか?

      太陽や月、星の見せかけの運動から地球が動いているのがわかる。

      しかし、本来の円の中心には点はあっても高さも広がる面も無い為、広がりがある空間認識をする事が出来ない。

      そうすると、自分がいる位置が動いているのかそうでないのかが本人には判らない。

      観察者と観察する物の大きさの対比にもよるが、恐らく点自体は回っているがそれを観察し動いている証明は出来ないかも..................

      皆さんが小さな1次元、2次元の話でしたので、大きい所から攻めてみましたがこんなものでどうでしょうか?

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      コンパス?

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      hanajan
      例えば、湯飲茶碗やアート定規で円を描いてみれば考えが変わるかも…?

      以上

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      大学へ行こう!

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      理1
      大学へ行って、解析学を受講しましょう。解析学の一番初めの章を学ぶと、答えが分かります。ちょうど今、新一年生が勉強しているころだと思います。懐かしい。

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      座標のみ

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      あいあい
      円の中心はつまり「点」だと思いますが、
      点とは
       ・座標で示すことができる
       ・大きさを持たない
      ものです。

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      数学的には(1)

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      留年生
      数学的にどう捉えるかということと、
      物理的(あるいは物質的?)にどう捉えるかを、
      別々に考えた方がいいのでしょうね。

      数学的には「中心は回らない」と言わざるを得ないでしょう。

      原点(0,0)を中心として半径rの円を考えます。
      その円周上を、角速度ωで反時計回りに回る点の座標は
      以下のように表されます。
      (r * cos(ωt), r * sin(ωt)) (ただしtは時間)

      このとき、原点のすごく近くに、原点からεだけ
      離れた点を考えると、この点の座標も以下のように
      反時計回りに動きます。εはとてつもなく小さい
      けれども0よりは大きいと思いましょう。
      (ε * cos(ωt), ε * sin(ωt))

      (続く)

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      数学的には(2)

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      留年生
      ところで、この点に対して原点について対称な点は
      (-ε * cos(ωt), -ε * sin(ωt))
      です。

      これら2つの点の速度を求めると、それは時間tで微分することを意味するので、それぞれ
      (-ε * ω * sin(ωt), ε * ω * cos(ωt))
      (ε * ω * sin(ωt), -ε * ω * cos(ωt))
      となります。
      速度の向きは逆方向を向いていることが分かります。

      >円が回るとき、中心を境に方向がかわってますよね。
      ですから、おっしゃっていることは正しくて、その通りです。

      次に、もう一度上記2点を思い出して、
      (ε * cos(ωt), ε * sin(ωt)) と (-ε * cos(ωt), -ε * sin(ωt))
      の中点をとります。
      それはまぎれもなく、原点(0,0)です。
      これを時間で微分しても、(0,0)のままです。
      つまり、速度は0で、動いていないし、回っていない
      という結論になります。

      「いつまでも、原点にたどりつけない」という発言が
      ありますが、そんなことはありません。
      ここで「アキレスと亀」のパラドクスを持ち出す必然性はありません。

      だけど、物理的には納得できないですよね。
      そういう感覚がどうして生まれるのか考えてみましょう。(続く)

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      「円が回る」ってなに?

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      なゆた
      トピ主さんが、「円が回るとき、中心を境に方向がかわっている」と言っているのはなんでしょうか?

      円盤(レコードやCDのような物理的実体)が回るというのなら分かります。中心部ももちろん回っていますね。実際には物理的実体が完全な円運動をするということはなく、回転の中心は常にゆらいでいますが。

      しかし、円というのは概念的なものですから、「円が回る」というのはどういうことか定義しなければ、直感的には分かりません。
      私なりに定義してみました:
      1)1点が円周上を、円の中心から見て等速角運動をすること。→動くのは円周上の点だけです。
      2)円周内の全ての点が、円の中心から見て定距離を等速角運動をすること。→この場合も動くのは円周内の点(無限にある)で、中心は定義を叙述する元となる概念なので、回る回らないといった問題の対象外となります。

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      「回っているとも回っていないともいえない」が答えでは?

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      ホランド
      円の中心である点は0次元です。
      0次元世界には、位置も向きも存在しないので、移動も回転もありません。
      このことは、「回転していない」ということではなく、「回転という概念すらない」ということを意味しています。

      『回転』とは、ある点Aが、時間の経過に伴って、別のある点Oと等距離の別の点A’に移動する(つまり、常にOA=OA’が成立する)ということだと思います。
      しかし、この概念を成立させるには、少なくとも、線分の長さという概念が必要ですが、これは1次元以上の世界で成立することで、長さが存在しない0次元世界では成立しえません。

      したがって、0次元世界には『回転』という概念すら存在しえないので、「回っているとも回っていないとも、どちらともいえない」というのが答えになると思います。

      ちなみに、0次元世界で『回転』の概念がなくなる現象は、空間の低次元化による縮退現象の一例だと思います。

      つまり、次元が低次元化することで、高次元で存在した概念が存在しなくなってしまう現象です。

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      あまのじゃっくさんの疑問に答えてみましょう。

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      ホランド
      あまのじゃっくさんの後半の疑問について、小生なりのお答えを提示してみましょう。
      (前半の疑問については既に答えていますので。)

      円盤の中心にいる人間の中心は回っているのではないか、とのことですが、このケースでは、回っているというのが答えでしょう。
      では、なぜ、円の中心は回っているとも回っていないともどちらとも言えなくて、円盤の中心は回っていると言えるのか?
      その理由は、数学的世界と物理学的世界の違いによります。

      人間がいるいないに関わらず、円盤の中心という物理学的世界では、点という0次元空間であっても物理量というパラメータが存在するので、『回転』の概念が存在しえます。
      このパラメータの傾斜(=微分係数⇒増減の向き)によって『回転』を定義することが可能だからです。
      物理量の例として、電磁場、重力場などの場のパラメータが挙げられます。

      トピ主さんの疑問を考える上で、数学的世界と物理学的世界の違いを知ることが重要だと思われます。
      トピ主さんの疑問は、数学的世界での問題だと思われます。

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        間違っているかもしれないですが・・・

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        りあむ
        たぶん、単純に考えると、

        >円が回るとき、中心を境に方向がかわってますよね。
        ってことなので、中心から等距離にあって、正反対に位置する二つの点上の回転の速度を考えてみます。

        当然、二点の速度は、同じ速さで方向が逆向きです(トピ主さんの仰る通り)。

        次に、その二点を徐々に中心に近づけていくことを考えます。
        そうすると、二点の速度の向きは逆向きのままで、徐々に速さは遅くなります(赤道上にいる人の方が、北極にいる人より速く回っているのと同じですね)。

        そして、その二点を無限に中心に近づけることを考えます。
        そうすると、二点の回転の速度は、逆向きのまま無限に小さくなっていき、極限をとるとゼロとなります。

        ということで、理論的には中心は止まっているということになるのではないでしょうか?

        でも現実の物質は、大きさを持っているので、回っているのかもしれませんが・・・

        間違ってたらごめんなさい。

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        物理的には(1)

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        留年生
        前の投稿から、時間が開いてすみません。
        数学的な厳密さを追求すると、
        中心は動かない点であると言わざるを得ないですが、
        物理的(あるいは物質的)には違和感を感じますよね。

        もう何人もの人がレスしてますが、たとえばアクリル板の中心に
        マジックでしるしを付けて回転させたら、そのしるしは回ってるじゃないか。と思いますよね。

        マジックのしるしは、0.5mmか1mmか分かりませんが、
        いずれにせよ大きさがあるしるしです。

        だから、回っているように見えるのは当然ですし、
        本当に回っています。(続く)

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        物理的には(2)

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        留年生
        数式を使って、分かった気分になってみましょう。
        前の「数学的には」で使った座標上の2点を、もう一度使ってみます。

        (-ε * cos(ωt), -ε * sin(ωt)) と (ε * cos(ωt), ε * sin(ωt)) です。

        前者の点から後者の点に向けて矢印を引き、
        この矢印を座標で表すと(難しい言葉でベクトル)、
        (2 * ε * cos(ωt), 2 * ε * sin (ωt))
        となります。

        この矢印は、長さが 2 * ε で、かつ角速度ωで回転します。
        εがとてつもなく小さくて、たとえば0.1mmでも、
        0.01mmでも、1ミクロンだったとしても、
        この矢印には長さがあり、回転していることは間違いありません。

        人間の目には、大きさのあるしるししか見えませんから、
        しるしを観察すれば回転しているのは当然です。(続く)

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        物理的には(3)

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        留年生
        ところで、物理的な捉え方として、
        円のど真ん中にある1個の原子はどうなってるんだろう、
        なんて話が出てきてますよね。
        これはこれで、とても難しいです。

        1個の原子の大きさは、およそ1ナノメートル前後です。
        世の中でいちばん小さい水素原子なら、0.1ナノメートルくらいでしょうか。

        原子は大きさがあるから、しるしと同じで、回転するんじゃないか?
        これは完全な間違いではないですが、単純な話でもないです。
        サッカーボールが回転したり、野球のボールが回転する結果、
        カーブやスライダーやシュートのような変化球になる
        のは、見て観察できます。

        だけど、原子の回転はボールの回転とは違って、
        量子力学に従って考えないといけません。

        アクリル板のど真ん中にある1個の炭素原子に着目して、
        その炭素原子はどんな回り方をしているか?
        そういう疑問を持つと、奥が深いですね。

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        小学校で教わった

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        写楽Say
        2枚の紙を斜めにずらして重ねてみてください。

        紙の縁が交わる「点」に、長さも面積もありません。

        点は大きさを持ちません。

        よって回転して向きが変わったり、さらに内部があったりしないのです。

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