海外とのやりとりが増えることと、TOEICスコアを上げること、は、関係ありますか？

スコアをあげることより、TOEICにでてくるメール文章を丸写しの方がよいかもしえませんね。

TOEICなんて日本人の一般教養英語テストをいくら
勉強しても意味ないです。
どうせ英語を勉強するならば大学院生が学ぶ単語や
アメリカンイデオムなどの勉強です。

英文IT専門書を読みましょう。

10年以上前にトピ主さんぐらいのスコア（700点代）で、最近受け直しました。
勉強前の実力は600点ないぐらいだと思います。

私は問題集をただひたすらやりました。
最初は時間を気にせず、試験前には時間を考慮してやりました。

あとはスマホで、TOEICの語彙力を強化する無料アプリを使って勉強してました。
TOEICは頻出単語が決まってるので、TOEIC用のアプリにするといいです。

2～3ヶ月ぐらい、平日2時間ぐらい勉強して、850点になりました。
私は基礎学力がないから、トピ主さんならもっと取れると思います。
自分の英語力が上がったかと言われると疑問ですが、問題集を何度もやると答えがパターン化されてるので、正解が分かってきます。
頑張ってください！

問題集はまず時間を気にせず精読した方がいいと思います。
というのは、失礼ながらスコア730では文法の基本や語彙力がさほど身に付いていないと思いからです。
がっかりしないでくだざい。
私も730くらいの時「もうそろそろペラペラになれるのでは」という甘い幻想を抱いて打ちのめされたことがあります。
700超えるとなぜかもう初心者ではないという妙なプライドが芽生えますが
TOEICって満点とっても英会話できない人はできないですよ。
筋トレと同じで、何回も受験しているうちにTOEIC筋が脳にできるんです。
しかし筋トレでついた筋力と実際の労働で培われた筋力が違うのに似ていて
現実の英語力と微妙にずれています。
もちろん、本当にできる人は英検だろうがTOEICだろうができるんですが
日本語脳しかない日本人がTOEICだけをやみくもに頑張ってもしょうがないと思うんです。
ただ「とりあえずTOEICテキストで勉強してみて、時々TOEIC受験で確認しよう」というのはアリだと思うので
精読をオススメする次第です。
TOEICに出てくる英文はそんなに難易度高くないので、長文問題をいくつか丸々暗記するくらい読み込んだらlisteningも楽になってきます。
それからlistening教材はネイティブ音声をそっくり真似て同じスピードで言えるように練習します。
イントネーション、発音、リズム、息継ぎの場所、全部を真似てください。
難易度はいまの自分のレベルでいいでしょう。
そのうち物足りなくなるので自然と難しいテキストに挑戦したくなります。

私は今TOEICより英検を勉強しています。
英検1級の日本人はネイティブの小学生レベルということです。
でもネイティブの小学生と普通にやり取りできたら、日本人としては上々ですよ。

語学学習は終わりがない。
お互い頑張りましょうね。

ので、ちょっとビジネスが香る一般教養であるTOEICよりは、もっと実践的な読み書きの勉強をしてはいかがでしょうか。

e-mailの書き方とか、専門用語を使った言い回しとか、そちらのほうが武器になると思います。