「角をたたせたくない」のですか？

口答えされるのが嫌なんですか？

場の雰囲気が悪くなるのが嫌なんですか？

暴言や乱暴な態度で威嚇されるのが怖いんですか？

これまでそうやって、問題を誤魔化し、一部の人間が余計な負担をしてきたからこそ、その問題の人物が増長してるんではないですか？

いきなり首にはそうそうできないでしょうが、

サボリやいい加減な態度を問題化し、上長やその上を巻き込んで対応すべきとは思いませんか？

はっきり言って、相談したあなたの上長も問題先送りの無責任な人みたいなので大変かもしれませんが

現に、あなた自身が体調を壊し、まさに他の社員も本来しないでもいい余計な仕事をしてチーム自体が壊れようとしているではありませんか？

リーダーシップを発揮するのはここなんではないですか？

首にする以外に、そういう問題児をどうするのかってのは、上の人間がその気になって味方してくれればいくらでもありますよ。

その腰の引けた臆病な上長ではなく。

自分より20上の男性の部下がいました。女性で自分よりかなり若い上司だから気にくわなかったんでしょう。

最初は言うことは聞かない、文句だけは達者。悪いところを指摘するとキレまくる。

でも、その人と他の部下を分け隔てることはしませんでしたし、サボってたらハッキリ指導しました。キレられようが何しようがハッキリと。

サボってる仕事を自分がするなんて絶対ありえません。

そんなことをしてたら、周りのきちんと働く部下が可哀想です。そして自分に対しての信頼も無くなるでしょう。

貴方がCの仕事を穴埋めするなんて絶対やめるべき。ましてや、それを他の子に振るなんて更になし。

もうね、喧嘩になろうが何しようが、年上であろうが間違ってる部分はハッキリ言う。それしかない。

面と向かって言わず解決する方法などありません。

トピ主さんのご相談のケースは、正論でいったほうが良いパターンだと思います。就業規定には服務における心得が必ず入っていて、そこには仕事中は原則として所属長の指示に従うこと、所属長への報連相は義務であること、が明記されているはずです。

部下Cがトピ主の指示命令に従わずにサボって、C個人のパフォーマンス、およびプロジェクト全体のパフォーマンスを意図的に下げているのであれば、これは重大な服務規程違反であり懲戒事案です。トピ主さん(会社も含めてですが)緩いです。だから手を抜いてもいいやってなめられちゃうんです。誰かがカバーしてくれるなら仕事しない人なのです。

最初は管理職として注意すべきでしょう。その際サボりは目に余り、これ以上プロジェクトのパフォーマンスを下げるのであれば、上司と相談の上懲戒にかけることを通知してもよいと思います。通知後、言った言わないの水掛け論にならないように面談の議事録を残して上司と共有し、実際にCのパフォーマンスについてチェックして記録し、懲戒に備えてはいかがでしょう。

通常Cのようなパフォーマンスが悪いメンバーは期間限定のプロジェクトに配属してはダメなはずです。トピのようになるからです。異動も視野に入れてもいいと思います。引き取り手は上司に責任を持って探してもらいましょう。

いや、よく話し合ってあなたとＡ、Ｂ３人で回すしかないですよ。

彼らの協力を得ないであなた一人でＣをカバーしようとするから倒れるんでしょう？

上司にも「Ｃは戦力にならないのでカウントしません。評価も最低評価しかつけません。」と報告しておきましょう。
「私ではＣの改善・育成は無理ですので気に入らないならＣを異動させてください。」で良いかと思います。

トピ主さんの例に該当するかどうかわからないけど私の周りであったできごと。

年上部下を有効に使いこなせない現場で、あったできごとです。

その年上部下は仕事をしない、のらりくらりとサボるとまあ使えないといわれる人でした。若い責任者から部下まで彼をバカにしてました。確かに簡単なこともいまいちやる気が見られません。
昇格試験も毎年落ちてます。たぶん受からないんじゃないかな。
そんな噂が出るような人でした。

ある日、責任者（年下）が休みの日に、現場責任者（これも年下）
が病気で休みました。その日の責任者は年上部下になりました。

すると彼は、現場を切り盛りし、当日の業務スケジュールの割り振り、休憩などの割り振り、顧客などの対応など　すべて責任をもって行動しました。そして数日大過なく業務を回すことができました。

彼は年上だし、若い責任者より現場の経歴は短い（異動でその現場に来た）のでなにか思うところがあったのかもしれません。

なんでそんなに真面目に仕事したんですか　なんて無粋なことは聞かないんで真相はわからないけどね。

ただ、問題児・無能な社員とレッテルを貼ったらそれはその人を自分の下では使いこなせませんというのと同じこと、思いとどまれと自分自身に常に思うようにしてます。バッサバッサと切り捨てるほどわが社には人はいないんだぞってね。

とはいうものの、トピ主さん、大変なんだと思う。逃げ出す力ってすごく重要だし、そのバカ社員のせいで精神病になったりしたら目も当てられないから限界なら切り捨てたほうがいいよ。