I want to sit alone.
だと乱暴ですかね？

　Can I have a seat next to an empty one?とか言えば？

　でも、今はネットでも座席指定できるでしょ。
　ただ、横に人が来るかどうかは、最後の最後まで分からない。で、早めに席を確定させればさせるほど、後に人が来ることになります。トピ主さんが席を確定させた時点では空席だったとしても、そこが例えば「窓側」「通路側」などで、他の客の希望に適う場合は、トピ主さんのことなんか無関係にその席を割り当てます。
　空港で一番最後にチェックインするつもりなんでしょうか？　でもそうすると、オーバーブッキングなどで、そもそも席がなくなったなんていうリスクもありますが。

　がらっがらっの場合は、機内で席を移っていいか聞けばいいのでは。ただ、今の日本路線でそんながらがらの便ってないでしょうけど。

Can I have a seat and a seat next to me is available by chance, please?

[by chance]で今日飛行機が混雑していなければのような丁寧な感じが伝わります。

・・・が。
日本の空港職員は、清掃の人でさえ、本当に誰でも丁寧ですけど
海外の空港の職員はずーーーっとむすっとしてる人も多数いますよ・・
聞き返すといきなりキレ始めたりとか。

だから、あんまり期待しないでお願いするほうがいいかも。
もちろんニコニコして対応してくれる人もいますけど
中には「ないですけど！」みたいな返答して来る人もいるので
そのときは気にしないでください。

エアラインのウエッブサイトのシートマップから自分の好きな席を選べません？　エアラインやチケットの種類によっては事前に座席を選ぶと料金が発生する場合もありますが、　もしそうならせめて２４時間前からのチェックインの時に自分で選べばいいのでは。ただその時は空いてても、例えばスタンドバイで待ってる人数などにもよりますが、その席が埋まるかどうかはギャンブルですよね。そうでなければ、もし混んでなければ飛行機のドアが閉まってから（そうするともう搭乗してくる人がいないので）の一瞬で空いてる席に動く事もできますよね。私これ良くやります。

グッドラック。

お隣に人がいない席のことをneighbor free seatと言います。なのでシンプルにCan I have a neighbor free seat? でいいのではないでしょうか？航空会社によっては追加料金が必要ですので、有料か無料か、有料ならいくら必要かちゃんと確認した方がいいですよ。

Please assign for me where the next seat is vacant.

かなあ。
「混雑していなければ」は言う必要ないです。
混んでたらどうせそんな席無いんだから。

でも最近webチェックインしたら空いている好きな席が選べる航空会社が多いので、英語で言う必要無いと思うけど。

皆さんに教えてもらった通りの英文を言ったとして、相手の答えが理解できるのでしょうか？そこが心配です。

横ですが、
座席はもともと一人用で他人とはシェアしませんので
I want to sit alone.
だと

どうぞ？

と言われてしまいますよ（苦笑）

If it’s available, I’d like to request to have (change) a seat no one is next to me.

でわかってもらえるんじゃないかな？
でも、「No guarantee.」 って言われると思うけれど。

英語圏から国際線で日本への復路で隣に誰もいない席にすわり足を延ばしたりしたいということかと思いますが、
トピ主さんがチェックインされた時点で隣が空いていたとしても、搭乗時まで空席のままとは限りませんよ。
最近国際線乗ってないのでわかりませんが、米国内線では常にオーバーブッキング気味で早朝や深夜（いわゆるレッドアイ）便でなければ空席があるのは稀です。
「ひゅ～ん」さんがおっしゃるように、乗ってみて空きがあるようなら日本人客室乗務員に聞いてみるのが良いと思います。地上の無愛想クルーよりずっと親切です。
エコノミーキャビンの前の方が空いていてもプレミアムエコノミーとか言って追加料金が必要な場合もありますので注意。