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    おもひでぽろぽろ・・・分数の割り算

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    タエコ
    話題
    「おもひでぽろぽろ」大好きな映画です。

    何度観ても、ラストはじ~んです。

    この映画の中で主人公が小学生のとき、
    分数の割り算の意味が理解出来ず、悩んでいるシーン
    があります。

    「3分の1を4分の1で割るっていうのは~」

    と、りんごをフォークで割りながら・・・

    分子と分母をひっくり返して掛ければ
    正解なのですが、考えれば考えるほど
    わからなくなってしまいます。

    私も深く考えずひっくり返していたので、
    一緒に悩んでしまいました。

    どなたかわかりやすく説明していただけませんか?

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    それはですね・・・

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    算数好き
    『割られる数と割る数に同じ値を賭けた場合、答えは同じである』と言う法則があります。つまり
     10   ÷  2   = 5
    (10×2)÷ (2×2)= 20÷4 =5
    もうひとつ、どんな数でも1で割ったときの答えは割られる数と答えは同じです。つまり
     10 ÷ 1 = 10
      5 ÷ 1 = 5
    さらに分数に逆数(分母と分子を入れ替えた数)をかけると1になりますね?
     3/4 × 4/3 = 12/12 =1
    なので分数の割り算では、割る数と割られる数に、割る数の逆数をかけてしまうんです。
       2/5      ÷  3/7
     =(2/5 × 7/3)÷(3/7 × 7/3) 
     =(2/5 × 7/3)÷ 1
     = 2/5 × 7/3
     = 14/35
    です。いかがでしょうか?

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    ピザで考えてみましょうか

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    くんち
    「3分の1÷4分の1」

    まず「4分の1で割る」ということですが、これは「その中に4分の1がいくつあるか」と考えましょう。
    で、いきなり「ピザ3分の1」の中に「4分の1」がいくつあるかを考えるのは難しいので、「ピザ3分の1」の3倍、つまりピザ1枚で考えましょう。ピザ1枚に「4分の1」はいくつありますか。4つですね。ということは、「1÷4分の1は、4」これはいいですね。
    話を戻しましょう。3倍したもので考えていましたので、元にもどす(つまり3で割る)と、さっきの4を3で割る、「4÷3=3分の4」
    というわけで、「3分の1÷4分の1=3分の4」ということでいかがでしょうか。

    図を描きながらだと説明しやすいんですけど・・・(汗)。

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    りんごとフォークじゃできません

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    べにばな
    主人公がりんごでやろうとしているのは
    「3分の1を4分の1で割る」じゃなくて
    「3分の1を4で割る」なのです。

    「3分の1を4分の1で割る」をりんごで考えると
    「3分の1」個のりんごを、「4分の1」人で割る、ってことになります。

    4分の1人とは。例えば紙に描いた主人公の絵をちょきちょきとハサミで4つに切って、そのひとかけら。そういう感じだと思ってください。現実にはそんなこと、ありえないですけどね。

    さて、その現実にはいない「4分の1人」でりんごを割りましょう。1人分はいくつになるでしょう?

    「4分の1人」のかけらが4つあれば「1人」になります。同じように、「3分の1個」のりんごを4つ集めると、1人分のりんごの量になります。

    従って「3分の1個のりんごを4分の1人で割る」は
    「3分の1個のりんごを4つ集める」のと同じ。

    小学生ながらにこんな感じで解釈してましたが、専門家ではないので、考え方が間違ってたらごめんなさい。もっとわかりやすく説明してくれる人がいたら、私も聞きたいでーす。

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    最初の発想の違い

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    パンタライモン
    例えば6個のりんごを2人で分けようとすると、
    6個を2等分に分ける→6割る2となります。

    しかし割り算は等分にする場合以外にも使います。
    例えば6個のりんごを一人2個づつに分ける場合、
    6個の中に2個がいくつ含まれるかとなり、
    この場合も計算は6割る2です。

    計算としては同じなのですが、
    着想点が違えばその意味は異なってきます。

    さて分数の割り算ですが、
    1/2割る1/4を、1/2を1/4等分すると考えると、
    話が非常にややこしくなります。

    というのも生活の中でこのような着想は、
    まず使われることがないからだと思います。

    しかし1/2の中に1/4はいくつ含まれるかと考えれば、
    比較的考え易いのではないでしょうか。
    もっと具体的にすれば、
    ケーキを一人前あたり1/8個で販売しています。
    現在ケーキは5個残っています。

    残りは何人前でしょうか?
    これなら分かり易くないですか?
    きっと瞬間的に5かける8と計算した筈ですよ。

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    何個あるか

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    dd
    私は割り算を最初に教わった小学生の時に、
    6割る3とは、6の中に3が何個あるか、である
    と教わったのですが、そういう教わり方って皆さんしないのでしょうか。

    で、6割る1/2ですが、たとえばりんごならりんごで想像して、りんご6個の中に、りんご半分は何個あるか。(12個ですよね)って考えてました。
    で、そういう問題を大量にやっていて、自分で、むむ,,,これはひっくり返して掛け算するのと同じ答えになるぞ、って気が付いたので、分数の割り算を疑問に思ったことは一度もありません。

    こんな考え方、いかがでしょう?

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    横ですが、算数好き様

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    算数嫌い
    ご説明は一応もっともらしいのですが、すでに分数及び分数の演算を前提とした話になっています。つまり、まだ整数の範囲での四則演算しか知らないときに、分数の演算をどのように定義するかという説明ではありません。

    例えば分数の掛け算はなぜ分子、分母同士をかけるのですか?また「割られる数と割る数に同じ数をかけてもおなじ」というのが分数の場合にも成り立つというのはなぜですか?これは証明が必要だと思います。

    これには分数の割り算の性質が絡んでくるので、この成立を認めることは分数の割り算はひっくり返してかけることを前提とするのと同じことと思います。

    そもそも分数とは何ですか?
    一見理論的に見えて、実はどこまでを前提とした話なのか曖昧な議論をしているように思えます。

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    私もずっと不思議でした。

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    花うさぎ
    タエコさん、私も「おもいでポロポロ」の映画
    大好きです。その後タエコは山形で幸せに暮らして
    いるでしょうね。

    ところで、タエコが分数の勉強をお姉ちゃんに
    教えてもらっているシーン。実は私も算数が
    「分数の割り算」から苦手になりました。

    どうしても理解できなくて、先生に何度も何度も
    分からないと質問を繰り返していました。

    余りにしつこいので先生が、「そ~いうものだ!
    ひっくり返してこれとこれをかければいいんだ!」と
    言われそれから算数はダメですね~。

    このトピで勉強させて頂きます。
    きっと将来娘に同じことを聞かれた時、教えて
    あげたいなぁ~。

    トピありがとうございます。

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    割るはひっくり返して掛ける

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    ひよこ
    私も分数・小数の割り算はイメージできません。
    小学校で「割るはひっくり返して掛ける」と習い、
    数学的操作とあきらめて何も考えずにずっときました。

    私の中でイメージがわかないものランキングでは、
    複素数、光子の二重性、一般相対論に次いで分数の割り算がきます。

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    皆さまありがとうございました

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    タエコ
    解説のひとつひとつをよーく考えました。
    図や式を書きながら。

    なんだか、頭の中でつながってきて、
    すっきりしてきました。

    算数って、こうやっていろいろ考えて、
    答えに辿り着いたとき、喜びを感じるもの
    なのですかね~。

    思えば、小学校高学年の「見かた考えかた」から
    算数、数学が大嫌いになってしまいました。

    この年にして、算数の面白さが少しだけ
    わかったような気がします。(40代です・・汗)

    思い切って、質問してみてよかったです。

    ありがとうございました!

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    14/35 は 2/5だ!

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    算数好き
    さ・最後のつめが甘かった・・・・お恥ずかしい・・・

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    あれ?

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    算数好き
    35?何で?15の間違いでした・・・・

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    算数好きさんに1票

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    へそまがり
    私もタエコさんと同じ疑問をもっていました。

    で、バンタライモンさんとddさんの説明。
    6÷2は、6個のりんごに2個のりんごが何組あるかって考えて(3組)、同じ発想で、例えば1/2÷1/4は、1/2枚のピザに1/4枚がいくつあるか(答えは2つ)って考えればいい。

    なる程、私もこっちの説明、学校で教わったし、「分かりやすい」って思ったんです。
    しかーーし、確かに、この考えで、1/2÷1/4の答えが2ってのは「実感」できますが、1/2÷1/4が、どうして「逆にして掛ける<1/2X4/1>」と答えがでるかの説明には、なってない。

    私が躓いてたのは、どうして「÷」が「逆にして掛ける」になるってところなんです。
    算数好きさんの説明は目からうろこでした。

    ただ、小学生に算数好きさんの説明、分かるかなあ、特に、私のような落第生に。
    どなたか、出来の悪い小学生でも納得のいく考え方を知っていたら、教えてください。

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    ブラボー

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    ひよこ
    ddさん、すごい分かりやすいです。
    なんか、感動しました。

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    小学校で叩き込まれました

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    数学苦手な理系
    20年くらい前です。
    このトピでは、リンゴやピザの例が出ていますが、
    私の小学校では、(風呂場の壁とかの)タイルでした。

    「正方形の1枚のタイルがあって」
    「それを三等分したうちの一片が、3分の1をあらわす」
    「同じく四等分したうちの一片が、4分の1をあらわす」
    「さて、3分の1のタイルの中に、4分の1のタイルは何個分入っているでしょう?」

    「3分の1のタイルを、4分の1人で分割するなら、一人分はどれだけ?」

    いずれも
    3分の1÷4分の1
    を物体を使って理解する方法で、前者は包含除、後者は等分除
    なんて意味づけをしていました。
    包含除の場合、4分の1のタイルを3つに分割したタイルのカケラを作ってみて、
    同じものを4個準備すれば、ちょうど3分の1のタイルを作れる。
    だから、4分の1のタイルを「3つに割った、4つ分」。3分の4。
    日本全国の小学校でこんな教え方をしていると思っていましたが、
    最近学力低下問題に取り組んでいるある大学教授から、
    そうでもないと聞かされて驚きました。

    「ひっくり返して掛け算する」ことを機械的な操作として
    理由抜きで教え込まれた人も多いのですね(続く)

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    中学校ではどうなの?

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    数学苦手な理系
    小学校の話の続きです。
    中学になると、みんな思い出ぼろぼろの世界を
    卒業していきます。

    卒業することの意味は、
    小学校では数字には必ず裏付けとして
    リンゴやピザやタイルなどの物体が存在していましたが、
    中学からは数字は数字として扱うようになります。
    (例は悪いですが、金兌換紙幣を不換紙幣に取り替える
    ようなものです。金という裏付けがなくなって、
    抽象化されます)

    中学生は計算するときにリンゴやピザやタイルを
    思い浮かべません。
    そうすると、最初に算数好きさんが書かれたように、
    演算規則で理解するようになります。(無意識にそうやってる人が大半でしょう)

    私の場合は、こんな風に理解しています。
    a/b = a÷b
    c/d = c÷d
    だから、
    (a/b) ÷ (c/d) = (a÷b) ÷ (c÷d)
    右辺の括弧を、演算の順番を間違えないように注意深くはずすと、
    a÷b×d÷c = (a÷b) × (d÷c) = (a/b) × (d/c)

    結果として、(a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c)
    ひっくり返して掛け算することになります。

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      このシーンに納得する人不思議

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      転校生
      よく「そうそう、あれ納得できないんだよね」って話題になるシーンですが、実のところ子供の頃から一度も不思議に思ったことありません。

      これは、○○の中に1/nが何個あるかとか割り算の意味がどうかとか考えるものではなく、「そう定義されているだけ」の話です。

      子供ながらに、分数は数だけど実際には数式で表現されているものである上に、四則演算は逆演算が可能なことに気が付いていたので、

      a / (b / c) = x としたときに

      a = x * ( b / c )

      a = x * b / c

      a * c / b = x

      だと子供の時には勝手に納得してました(もちろん幾つかすっ飛ばしてましが子供だったのでこんなもの)。

      確かに厳密に理解するには、代数学で可換環について学ぶ必要がありますが、分数の割り算の理解に必要は無いです。その段階では単にルールを一度決めたら適当な演算をしたら答えが出る単なるパズルって理解だけで十分です。

      分数の割り算は、実際、それ以上でもそれ以下でもありません。

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      横の横です

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      くんち
      算数嫌いさまへ

      恐れ入りますが、算数好き様を批判なさるなら、模範解答をお願いできますか?

      「前提がはっきりせず、お話にならない」とおっしゃるでしょうか。それとも、このような依頼を想定して「算数嫌いだから関わりたくない」と断るためのハンドルネームなのでしょうか。

      横レス失礼しました。

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      難しく考えすぎかなぁ

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      もっと簡単に
      1個のリンゴで考えるから解らなくなるので、例えば
      12個のリンゴが入っている1つの箱があると考えてください。

      この箱を3つに分ける(1/3)と4個ずつリンゴが採れますね。
      同様にこの箱を4つに分ける(1/4)と3個ずつリンゴが採れますね。

      つまり、1/3を1/4で割るということは、4個割る3個だから、4/3なんです。

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      べにばなさんへ質問

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      ディープインパクト
      べにばなさんのおっしゃる、

      >従って「3分の1個のりんごを4分の1人で割る」は「3分の1個のりんごを4つ集める」のと同じ。

      は、1個のリンゴを12等分(分母の3と4の公倍数が12なので)してあると考えた時、前者は「4切れ」ですが、後者は「16切れ」になってしまうと思うんです。

      「3分の1を4分の1で割るっていうのは~」は、4切れ(12等分したリンゴの1/3の量)の中に、3切れ(12等分したリンゴの1/4の量)がいくつ含まれているかを導き出すものだと思いますので、その答え4/3は、すなわち「1(3切れ)と1/3(1切れ)」ではないでしょうか?

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      難しく考えすぎかなぁ2

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      もっと簡単に
      間違って(失礼)覚えている人がいますので再度書き込みます。

      >6割る3とは、6の中に3が何個あるか

      その考え方では分数を理解することが出来ません。
      そうではなく、6割る3とは、その言葉通り、例えば6個のリンゴを3つに分割したときの、1つあたりのリンゴの個数を意味します。そう考えれば、
      6÷3=6/3=2
      を理解することが出来ます。
      ちなみに、分母=何分割しているか?、分子=分母で分割された物がいくつ存在しているか?を意味しますが、これは、誰かが説明しているとおり、定義ですので証明しようがありません。

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      くんち様

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      算数嫌い
      模範解答をとのことですが、その前に、私が指摘した算数好き様の論理の欠陥がご理解いただけなかったようですので、もう一度分かり易く説明します。
       算数好き様はわる数と割られる数に同じ数をかけてもおなじという「法則」が整数の場合に具体的に計算して答えが同じになるから成り立つとしています。この論法だと分数の場合にも、2/5÷3/7と(2/5×7/3)÷(3/7×7/3)をそれぞれ計算して答えが同じになるから成り立つということになりますが、まだ分数をひっくり返してかけるということは知らないのでこの計算はできないはずです。なのにこの「法則」が成り立つとしている点が問題なのです。つまりこれから示すべき「ひっくり返してかける」ということをつかってこれを示しているわけで、循環論法に陥っているわけです。おわかりいただけましたでしょうか?続きます。

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      くんち様(続きです)

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      算数嫌い
      というわけで例の「法則」の成立を分数の割り算をすることなく示すことができれば結構です。ただそれには分数の割り算の性質を使わざるを得ないので、どうしても分数及び割り算をきちんと定義する必要があるのです。
       数学的に説明する場合のポイントは例えば転校生様の回答のなかにあります。ただ、可換環の理論は必要ありませんが。数学は論理が正しければどのような主張をしても良いので、模範解答というものはなく、単に好みの問題だと思います。結局は分数の定義の問題になります。いくつかの方法がありますが、いずれも形式的なつまらない話です。
       なお私自身は、算数の場合には、くんち様はじめ何人かの方々が具体的に分かりやすく説明されているのでよいと思っています。
       

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      算数嫌い様

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      くんち
      お返事ありがとうございました。

      算数嫌い様が指摘した理論の欠陥の説明が分からなかった訳ではありません。ただ、分数で割る計算をするときには、すでに分数のかけ算を習っているのですから、それを前提にするのは構わないのでは、と思いました。

      気になって娘の算数の教科書(啓林館)を調べてみました。(5分の3)÷(3分の1)という計算については図解で2通りの考え方が示してあり、その次に(5分の3)÷(3分の2)という計算の考え方が説明されています。
      それは、まさに算数好き様の説明の通り載っています。ヒントとして『(3分の2)×(2分の3)=1になることから考えましょう。』という一文があります。
      そして、(割られる数)と(割る数)のそれぞれに、(2分の3)を掛けて、割る数が1になるようにしています。

      また、4月22日の私の説明は、(3分の1)÷(4分の1)についての答えは出ますが、それ自体は『逆数を掛ければいい』ことの説明にはならない、という欠陥も自覚しています。

      トピ主様、横でのやりとり、ごめんなさい。

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      私の場合

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      ともち
      私は、次のように言い換えたらイメージできるようになりました。

      整数 10÷2=5
      「10は、2倍にされた数。では1倍では? 」

      分数 10÷1/2=20
      「10は、1/2倍にされた数。では1倍では? 」


      ある数を、本来の「x倍」されたものと考えると、本来の量は?というのが割り算の本質ではないかと思います。素人考えですが...。

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      ひっくり返してかけるのは自然です

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      算数嫌い
       そうですかくんち様、小学校の教科書では算数好き様のような説明をしているのですね。でもきっと循環論法にならないようにうまく逃げているのでしょうね。
       ところで表題のように言ってしまうとみもふたもないので、控えていたのですが実際はこういうことです。減法は加法の、除法は乗法のそれぞれ逆演算で、それぞれの逆元を演算するのです。分数の範囲で考えて、整数aをbで割るのはbの逆数1/bをかけることで、a÷b=a×(1/b)実は整数の割り算もひっくり返してかけているのです。
       ですから、分数の割り算a/b÷c/dもc/dの逆数d/cをかけるa/b÷c/d=a/b×d/cというのは別に不思議でもなくごく自然なことなのです。
       まったく横になってしまってトピ主様には申し訳ないのですが、もうすこし分数の話しをさせて下さい。
       

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        分数の定義その1

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        算数嫌い
         前提は整数とその加法、乗法のみです。ですからまだ分数は知らないという立場です。
         整数a、bに対して式(1)、b・X=aを満たすXを分数a/bと定義します。要するにbをかけるとaになる数のことです。
        同様に整数の割り算a÷bもb・X=aを満たすXのことと定義します。よってa÷b=a/bとなります。分数の加法、乗法は普通に定義します。で、除法a/b÷c/dも同様に、c/d・X=a/bを満たすXとして定義します。
         この式の両辺にc/dの逆数d/cをかけることによって、X=a/b・d/c、すなわちa/b÷c/d=a/b・d/cが得られます。
         ただしこの分数の定義はb・X=aを満たすXがもし存在すればそれを分数a/bとするというだけであって、こういうXが実際に存在することはいってないという問題があります。
         これに対して実際にこういうXが存在するように分数を構成していく定義のしかたがあります。
         

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        分数の定義その2

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        算数嫌い
         これで終わりです。どうもすみませんでした。
         分数を形式的に定義します。整数a、b(ただしbは0ではないとする)に対して形式的な記号a/bを分数と定義します。a/bは単なる記号ですから、a割るbはもちろん、何の意味もありません。ただの2つの整数のペアと言うだけで(a,b)でもいいのです。これに対して=や演算を定義していき、次第にわれわれが普通に知っている分数の意味を付与していくのです。私はこの分数の定義が好きですが、大方の人には受け入れにくいかも知れません。ですので、詳しい説明はやめて本を紹介します。
        「数学の基礎」島内剛一(日本評論社)
         思うに数学でつまずくのは、形式的な議論で意味のないところで、その意味を一生懸命考えてしまうからではないかと思います。もともと意味がないのですから考えるだけわからなくなるのです。

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        小学校で、どこまで突っ込むべき?

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        数学苦手な理系
        議論が出尽くしたところで、引き戻すようで申し訳ないのですが。

        算数嫌いさんの議論は厳密だし、
        穴のある部分にはちゃんと注釈が入っているので、
        大学の数学を少しかじって、その後落ちこぼれた私には分かりやすいです。

        だけど、ひるがえって、思い出ぼろぼろの小学生の立場になったとき、
        どこまで掘り下げて、どんな風に教えるべきなのでしょうか。
        「数学教育」という視点で見ると、いきなりこんなこと教えたら、
        混迷を深めるのではないかと思うのです。

        こんなことを書くと怒られそうですが、
        教育学部を卒業して、教員採用試験に合格し、採用された小学校の先生でさえ、
        大半の人がフォローできないのではないかと思います。

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        小学校ではあまり突っ込まずに

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        算数嫌い
        なるべく具体的に説明するのが良いと思います。私は前にも申しましたように、算数では、くんち様やバンタライモン様やdd様のように具体的な説明が良いと思います。
         で、中学校で、私の分数の定義その1のように逆演算の話をして、ひっくり返すのは自然であるという種明かしをするのがよいと思います。
         確かに数の定義のような数学の基礎の部分は非常に難しいのです。例えば、自然数の定義なんて、教育学部出身の先生どころか、数学の専門家でも数学基礎論以外の分野の人は、1、2、3・・・を自然数という、ぐらいで済ませてしまって、これでは定義になってないのですが、あまり意識していないので、数学科出身者でも数の定義をきちんと説明できる人は(下手をすると大学教授でも)少ないでしょう。(だからと言って別に困ることはないのですが)

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        では分数の掛け算は

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        シリコンバレー
        小学生の時は問題なく通過した分数も良く考えると面白いですね。勉強になりました。それでは分数の掛け算はどうなんでしょう。

        たとえば「12個のりんごに1/3を掛ける」はどうして「12個のりんごを3で割る」と一緒なんでしょうね?これをタイルを使ったりして説明すには一体どうすれば良いのかな?むむむむつかしい.....

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