うちも似た感じです。
違うのはうちは数ヶ月不在、犬はいない、私は在宅で仕事をしていることです。
子どもも私しか話し相手がいないので、youtubeやゲームをしている時以外はずっと話してます。
私が座っていると気づいたら膝に乗っています。
これはもうしょうがないと思います。

結果的に家事がものすごく手抜きになりました。
トピ主さんのお子さんはうちの子よりも構って度合いが高いので
トピ主さんもお疲れとは思いますが、
家事等の時間を減らして
相手をしている時間を捻出するしかないと思います。

お子さん、寂しいのですよ。
話もお子さんの顔を見てしてあげてください。
うちも10歳ですけどまだまだ表情豊かでかわいいですもんね。
それを続けていたら、構って欲しい気持ちも落ち着いてくるはず。。

食器を洗う時間があったらそれをお子さんとの時間に当てる、
宿題も洗濯物を畳みながら隣に座って見る。
ご飯も簡単なものになりました。

在宅の仕事はできるだけ子どもが学校に行っている間、寝たあとにだけ。
どうしても無理なときは子どもがゲームしている時にしています。

あ、あとは子どもが起きている時間に旦那がスカイプできるようであれば
そっちに丸投げして、話をしている間にご飯を作ったりしています。

10歳にもなって、ママ横に座ってて！は、ちょっとないですよね。
習い事やスポーツはやっていないのですか？
うちは学童に行ってる時から、放課後退屈しないように習い事を規則的に入れてます。
社会性が身につきますし、寂しさを感じないようになり前向きになります。
あと、食後にテレビばっかり見させてないで、勉強させたら？
退屈と寂しさを混同してるのだと思う。

実際の母一人子一人の家庭は、1人でお金を稼いで、1人で身の回りの世話もしてあげて、父性としてどかんと叱る事があったり母性としてつつみこんだりと忙しいものですが、父親が単身赴任中の三人家族なのですね。
2人目を諦めた経緯が、仕事が忙しすぎてとか、祖父母が要介護とか、一人目のお子さんが度をこして手がかかったとか、そもそも夫婦が子供嫌いとかでないのなら、養子、里親、それこそ外国人のホストファミリーになるなどの選択は駄目ですか。
うちはお金もないし、1人目時点で40代になっていた夫も渋っていたので半分諦めていたけれど4歳差で無理を押して2人目を作りました。
うちの場合は余計大変になりましたね。産前産後は上の子も不安定になるのでこれまで以上のフォローがいりますし、兄弟がいれば遊んであげなくていいわけでもありませんし、構ってほしかった子が構ってもらえなれば、他の問題行動に出るようになります。
構ってほしいは性格もあるから、構ってほしい子は（兄弟のいるいないに関わらず）構ってあげるのが最善なのかなと感じます。とりあえずお母さんがたっぷり構ってあげる事によって外で問題なく過ごせるならそれが急がば回れなのかなとも思います。学校でついていけなくなると先生からも色々指摘されてへこみますし、お友達に迷惑をかけるようになると周りに謝ってまわらなきゃいけなくなったりしてもっと大変です。仕事しながらそのフォローってなかなか大変です。
私は家が嫌いだったので15歳で寮のある学校に行きました。私の子だからたぶん子供も似た事を言うと思います。うちはお金がないから寮の高校なんて無理だけどそれでも18歳には自力でどうにかして出て行ってしまうだろうと思います。なので18歳を起点に「あと○年しか一緒に住んでくれないんだから」と、疲れた時には具体的な数字を考えるようにしています。

二度目ですみません。
習い事は週に3回、遠いので付き添っています。
オンライン英語もやっています。
夫は数ヶ月の出張、戻って来てまた他のところに行くので
帯同は無理でした。

トピ主さんのお子さんは学童に行っていますか？
（うちの方では六年生までOKです。あまりいませんが）
それともお家でお留守番でしょうか。

＞私も仕事をしているので正直、夕方～子供が寝るまで、相手をしてる時間なんてありません。
＞先の事より、今現在をなんとかしたいのです。

それくらい忙しく働いていらっしゃるのなら、夕方からお子さんが寝るまでの間の家事をしてくれる家政婦さん（１日４時間くらい？）を雇えるくらいのお給料は貰っていますよね？家政婦さんを雇っては？今だけですから。中学生にもなれば男児は寄ってきませんよ。

そして春休みは息子さんだけ御主人と一緒に暮らしてもらっては？

うちも短期の単身赴任が多く、今は中学生の息子と二人の生活が長いです。

１０歳の息子さん、かまってちゃんとのことですが、普通に聞いていれば微笑ましいのですが、少し、学校生活が気になりました。

父親不在と言うより、何かストレスや不安を感じているのでは？

もしくは、トピ主さんが「父親がいないことの負い目」を日々息子さんに見せていると、息子さんは不安に感じると思います。

１０歳の男の子は、個性にもよりますが、遊びに夢中になる時期です。
多くは、友達と遊ぶことしか考えてません（笑）

友人関係は大丈夫ですか？

トピ主さんも忙しいとは思いますが、息子さんのかまってちゃんの要求は全て対応してあげてください。

そして、原因を本当に父親不在なのか？吟味してみてください。（本人に聞いてもダメですよ！分かってませんから（笑））

他に原因があるような気がするのですが、私の杞憂ですむならよいと思います。

多分正解は、子供が満足するまで思う存分かまってやる…だと思います。
お子さん、寂しいんじゃないかな。
そういう満たされない気持ちは、親がきちんと向き合うことでしか解消されないように感じます。

でも、それだとトピ主さんが大変だと思うので、家事のお手伝いをお願いしては？
10歳ならちゃんと教えれば結構戦力になってくれると思います。
お子さんだって、お母さんの役に立っていると思えれば嬉しいんじゃないでしょうか。
お母さんからの「ありがとう」は最大の誉め言葉って言いますよ。
やりたくない～って逃げていくようならそれでもOKくらいの気持ちで。