えーと、ご両親に買ってもらうのではなく、一時的にお金を出してもらうけど、マンション代は返していくって事ですか？
名義はどうするのかなどの問題はありますが、最終的にトピ主さんがお金を出すのであれば、純粋に欲しいかどうかで決めたらいいと思います。

ただ、

＞ボロくて古い築年数60年近いマンション

間違いなく、買って邪魔になる物件です。

ご両親のそばの方が子育てのサポートを受けられるかもしれませんが、70過ぎのご両親では、あまりにあてに出来ないかもしれません。
むしろ、ご両親の方がサポートを期待して、近居を望んでいる感じもしますね。
だけど、シングルマザーで働きながら子育てして、更に親のサポートまで期待されたら、ちょっとしんどくないですか？

仮にご両親が買って下さるとしても、よく考えた方がいいかと。
相続で残されても困る物件ですし、マンションの購入資金は介護費用などに残してもらった方がいいと思います。

シングルマザーなら、市営住宅へも優先的に移れるのではないかと思いますよ。

メンテナンス費用が今後どれだけかかることか。耐震強度もどうなんでしょうか。

「安物買いの銭失い」にしかならないと思います。

いかにも老い先短い親が考える発想ですね。
足が欲しい親も分かりますが、都度タクシーを使った方が安いですしね。

そのマンションは、売りづらく寿命も身近い。子に渡す資産価値はない。
大体リフォームしたら数百万はかかるでしょう。
両親は介護が必要になる。家はいずれ相続する。
それを含めて将来はどうする気なの？ずっとアルバイトなの？再婚は？

500万円以内位でご両親が即金で買ってくれて
家賃のように払って返すような感じでしょうか。

以下のような点についてはどうでしょう。
(なかなかトピ主さんの状況がわからないので)

・数年後住まなくなった場合、売却できる
　見込みがあるか。　ずっと固定資産税、
　管理費・修繕費が発生し続けるか

・トピ主さんのご両親宅に同居の話は？
　お子さんの面倒をみてもらえそうなので
　ご両親が亡くなった後のご実家への
　転居等の予定はあるのか
　(ここ20年位の話になるとは思いますが…)

・トピ主さんの生計手段とライフスタイル
　アルバイトで家賃を含む衣食住を賄い、
　さらに子供2人の面倒も見るのでしょうか。
　それは可能でしょうか。

・その住まいの利点や欠点
　-築60年ということで、現時点で不満はあるか
　 建物が古くて気に入らないとか水道が故障とか
　-条件が悪い分、広いとか子供がうるさくて
　 良いというような利点があるのか
　-勤務地から遠くなってしまって生活は不便になるのか
　-住人層はどんなか(子供たちが学校でからかわれる
　 可能性はないか(貧乏とか団地とか))
　-エレベータが無い、夏は暑くて冬は寒い等の
　 古い建物であるか故の欠点がないか

最後負債になってしまう場合(もう住まないが売れない)
の事は現管理組合に確認しておいた方がよいと思います。
築60年ということなら、今誰も住んでいない部屋も
結構あるのではないかと思います。

親御さんにとって数百万円がそんなに負担でないなら、
結構良い話のような気がしますが(子供が巣立つまで
安く上げることを主眼として)現物を見たトピ主さんに
何か躊躇するポイントがあるように読めました。
まず子供たちの生計をどう立てていくかではないでしょうか。
(今のアルバイトがずっと続くのでしょうか)

文書力無いようには見えないのですが・・・。

結局買うのはご両親が現金で・・・であなたではないのですよね？
それとも家賃相当を毎月返済せよという事ですか？払い終わった時点で名義変更？
でそのマンションが６０年もの？
駐車場が付いてるのですか？
「シングルマザー」って事はお子さんがいるんだと思いますが、何人？お幾つ？
今の賃貸の間取りと対象のマンションの間取りは？

このくらい情報が無いとなんとも・・・。

限定的に言うと親には相場より安価な家賃を払って、親の資産として持ってもらえば？

マンションって買ったら、あとはタダで住めるってもんじゃなく
維持費(税金、管理費、修繕費その他)がかかります。
まずは、それをきっちり調べてね
仮に将来住まなくなっても、それはずーっとかかるってことだから


あと、主さんはお若いから、再婚などの場合に貸せる物件かどうか？

(駅近ならいいですけど
駅からさらにバスなどの場合は、資産価値ないのでやめといた方がいいと思う)




将来って色々状況が変わっていくので
色々な場合を想定して、よく考えてくださいね

現金で親が購入とのことですが、修繕費の積み立てや税金、管理費などの支払いはアルバイト代からの捻出可能ですか？

お子さんたちの保険問題もあるので是非、社員になることをお勧めします。
そして貴方は一人っ子でしょうか？
他に兄弟がいるのなら、親御さんの老後がかかってきます。
そのマンションでの同居も考えているのなら、ご実家を処分しての生活なら賛成です。

親がかりでマンション購入、実家の維持費用や親の生活もかかって来るのならどうか慎重に。

主さんご兄弟は？
将来的にどなたがご両親のお世話をするのでしょう。
というか、ご両親は主さんにある程度面倒みてもらいたいのですね。
金銭的なこと以外で。
娘が独り身、頼みやすいですもんね。
そもそも主さんは親の世話、いや？

まだお若くお子さん小さく実感が薄いかもですが、遠からず、そうですね、お子さんが中高生くらい、自立する前にご両親をほったらかしにはできなくなります。
その時どうするか。
誰か相続含め中心となってお世話する人がいるのであれば、距離があっても問題ないかもですが、ご自身がお世話するとなると近いに越したことはないかと。

あとは主さんがどういう人生を描いているか。
往々にして思い通りにはならないものですが、漠然とでもあるのであれば、それに両親と極近なことがどう影響するかを考えて決めればよろしいかと思います。
いずれにしろ、両親のお世話に関して全く知らん顔できるものでもなし、前向きに検討してみたらいかがかと思います。
毒親でもない限り、ですが。

シングルマザーで子供二人
収入はアルバイト。
市営住宅に申し込みしたら優遇されそうですけど
入居できないのでしょうか。

マンションは管理費と修繕積立金が毎月必要です。
購入費用を現金で払ってもらったとしても
タダで住めるわけではないのです。
築60年ともなれば修繕積立金は結構高額の可能性も…。