魔がさした、ちょっとした出来心・・・人間ですから、しょうがない。

解雇されなかったということは、信頼回復のチャンスを与えられたのでしょう？
このチャンス、なんとしてでも、活かしてみせましょうよ！

降格処分を受け入れ、自分を恥じて、決意を新たにしている。
そんなひなさんですから、上司からも信頼と期待を寄せられているものと想像します。

応援します！

私用インターネットって、匿名の掲示板に
会社の秘密の情報を書き込んだり、
会社の備品や製品をインターネット
オークションで売ったりと言った
「悪事」ではなくて、
普通のサイトを閲覧したり、帰り道に寄る
お店の場所や閉店時間を調べたりといった
普通のことですよね。

トピ主さんの仕事場で禁止されているなら、
してはならないことでしたが、
そんなことは特に禁止していない職場も
たくさんあります。
(すべき仕事があまりなく、暇つぶしに
インターネットしていてもよい、とか)

もともと合意していたなら仕方ないけれど
その理由で昨日今日で月給制から時給制に
変更される(トピ主さんに不利な場合)
とかいうのはちょっと極端だと思います。
ただトピ主さんの想いとしては
「残して頂いてるだけでもありがたい」
なのですよね。
本心ならそれでよいと思いますが…。

今従業員の軽率なインターネット利用が会社の
信頼の問題に繋がるような話もあるようなので
会社も神経質になっているのかもしれませんが、
23歳のトピ主さんが
>明日改めて謝罪
>自業自得なのでもちろん従います
というまで悲壮感をもたなればならないような
大問題だとは思えません。
もし本当にしてはならないなら、人の自制心
なんて強制力がないのだから、
アクセス制限なりで対応すべきです(会社が)

ところでトピ主さん自身は今回の厳重注意に
至った具体的な理由は正確に把握されているの
でしょうか。
・私用インターネットをしたから悪かった
・してはならない、というルールが守れなかった
・(特に規則はないが)とにかく新入社員なのにけしからん
等ですが…。

郷に入れば郷に従え的な話なので、
トピ主さんの職場でダメならトピ主さんの職場では
ダメなのですが、必ずしも世間がそうではないので
あまり気をおとされず、普通にがんばってください。

ネットの使用が許可されている企業であれば、多少私用の調べものをしても調べた内容に問題がなければ大ごとにはならないところもありますよ。注意を受けたら素直に態度をあらためて、仕事をまじめにこなせば、信頼はすぐに取り戻せると思います。見てたサイトにもよると思いますが。

私用で調べたものが、防水業の技術や建築関係の勉強であれば問題なしとされると思います。ヒマ潰しに何かを見たい場合には、そういう技術習得に関するサイトや動画にしておくほうが無難です。

アダルトサイトや何かの悪口や噂や今はやりの話題などをおもしろおかしく揶揄するようなまとめサイト的なものだったのであれば、トピ主さんに対する印象は悪くなってしまっていると思います。

新入社員にはネット環境と自由（ヒマ）を与え、ネットサーフィンをしたくなるような状況下でどのようなサイトを閲覧するかを監視し、新入社員を選別する会社もあります。他人が見ていない場所でも誠実に仕事をすることは大事です。

もしかして、とびこみ訪問の営業さんが仕事をもらってくるまで、待機している職人さんですか？手待ちも仕事のうちですが、一番辛い仕事です。
間が持たないと言うと、会社の事情で施工だけではなく、事務や新規顧客開拓もしてくれとなります。そう指示されたられ、雇用形態を戻してくれと堂々と言えますよ。
他の仕事をしなくても言えますけどね。
正社員を時給雇用に変えるのは、私用でパソコンを使った懲罰としては重すぎです。労働基準法違反なんですが、届け出たら今の職場にいづらくなりますね。
もう謝罪の必要はありません。罰を受けましたから。
信用も、仕事を与えず座らせておく時間の長い会社なら、そんなに回復させなくてもいいです。
長く勤めても割に合わない目にばかり会いそうだと分かったら、手待ちに耐えながら転職先を決めて辞職したほうがいいです。
ここで勤まらないなら他でも勤まらない、どこがあなたを雇うんだなど、嫌みはたっぷり言われますが、自分の自由です。

トピ主さんの行為はさておき、月給で採用された方が時給に変更はおかしくないですか。トピ主さんは今回の件で厳重注意レベルの認識ですが、会社側はトピ主さんが社員を依願退職扱いにしてパートによる再雇用状態として人事処理されていると推測します。
ですから、トピ主さんのこれからの社会保険、賞与、休日、残業、退職金等の扱いはどうなったのかを確認する必要があります。就業規則は従業員がいつでも見られる状態になっているはずなので時給雇用者の規定を確認した上で、聞きにくいかもしれませんがメモ帳にヒアリング事項を書き並べて、記録を取りながら確認しましょう。就業規則がないならすぐに尋ねましょう。注意点は今は時給制（パート）と同じだけど、頑張れば月給に戻れることを言われることです。もし、この言葉を言われたら、月給に戻れる時期と要件を明示してもらいましょう。トピ主さん次第等、曖昧にしたら月給制にする気はないです。
（もしかすると、前に辞められた方は、会社の仕打ちに納得できなかったからではありませんか。）

想像したくはありませんが会社の意図が感じられます。会社としては時給制で募集したいが、募集するとパートレベルの人が集まる。だから月給制で社員意識の高い人を集める。採用者が今回のような件を起こせば、退職かパートかを迫り、パートになったら安く雇用できたと目的達成です。

インターネットで病院を確認した程度で会社に損害は全く与えていない社員をパート扱いの仕打ちをする会社は退職した方がいいです。