特に何とも思いません。
いい気がしないなら、よくある言い方だし、自慢や批判の枕詞であることも知られている事なのですから、スルーするよりないのでは。

まあ、、批判する時かな。
貴方様を批判するような立場のものだと自分自身を思ってはいませんけど、敢えて言ってもいいですかね、みたいなニュアンスを感じます。
あとは「ちょっと空気を濁すかもしれず申し訳ないとは思いますが」みたいな。

自分自身を自慢する時は「自分で言うのもなんだけど、、」ってならない？

その"何ですが"は、いったい何なのかが気になってしまいますね。その後の話で何なのか分かるまで我慢するしかないのでしょう。
でも、推測ですが、その後に言われることは、自分にとってはどうでも良いことのような気がします。言われたことはないのだけれど、ロクな話ではないだろうとの先入観があります。

相手にとって嫌なこと、面白くもないことを言う時に頭につけるセリフですね。
言い訳なのですよ。

「だったらそういうこと言うな!」ですね。

私の周りにはあまり見当たらないけど、もし不快なことを言われたら言い返します。

前者の場合、
「別に自慢したくて言うんじゃないからね。
話の流れ上、必要があって言うだけだから」
「別に、調子に乗ってもいないし、うぬぼれてもないからね」など、
自分が勘違いしてないことをわかってほしい。

後者の場合、
「あなたを傷つけることが主目的ではありません」
「言いにくいですけど、目に余るので、あえて言わせてもらいますね」
というような意味で、悪意、敵意はないということをわかってほしい。

そういう意図なんだろうなと思うし、
そのあとに続く発言内容が共感できる内容であれば、私は特に悪い気はしません。

私の場合、割とストレートに物事を受け取るほうなので、
「自慢じゃない」と前置きされれば、
「ああ、自慢のつもりじゃないんだな」とそのまま受け止めます。
そして、そもそもなのですが、他人の自慢話を不快に思うことがないので、
前置きがあろうがなかろうが、気になりません。
愚痴や悪口は、相槌に困るので嫌いですが、
自慢話は、たとえ私的には「たいしたことないな」と思うようなことでも、
「いいわね～」とか、適当に肯定的なことを言っておきさえすればいいし、
その人が自慢に思うならそれでいいと思うので、不快感はありません。

批判も、事実でさえあれば、
「あんたに言われる筋合いはない！」などと思うよりも前に、
「確かにそうかもしれない」「ああ、他人にはそう映るのか」など
割と素直に反省するタイプなので、
むしろ、前置きをしてくれたことに、気遣いがあるなとか、
言いにくいことを言わせてしまったな、と感じることが多いです。

もしも、事実ではない批判をされたら、
「事実ではないから不快」が最初で、その後、
→「前置きすれば何を言ってもいいの？」
→「自己保身するな、そんな前置きするくらいなら言うな」になるでしょう。

前置きがダメではなく、事実ではないことが私的にはダメです。

そりやあいい気分はしなかったり嫌な気分になって当然ではないですか。
だって最初に嫌なことを言いますねって断りを入れているようなものですからいい気分になるはずもないわけで。。。

他に「いかがなものか」という良いとも悪い
とも取れる無責任な言い方があります。

こんなことを言っては何ですが、の後に続く「こんなこと」があなたにとって耳が痛い内容だから、あなたに悪い予感がするだけで、一般的には意味はないです。
こんなことを言っては何ですが、前から思ってたけどあなた美人ですね、って言われたら嬉しいでしょ？
そういう事です。