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    1~10までの数字を順番に足す計算方法

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    🙂
    明菜
    話題
    40代女性です。

    昨日小6の息子が塾で先生からタイトルのような宿題がありました。

    皆さん、どんな方法があると思いますか?

    私には無理です。

    因みに、順番に足していくし

    1+2=3+3=6+4=10+5=15+6=21+7=28+8=36+9=45+10=55

    答えは55です。

    トピ内ID:8379736745

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    簡単ですよ

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    blank
    ねこ
    式で書くと

    (1+10)×10÷2=55

    です。この計算の仕方は中学くらいで習うんじゃないでしょうか。

    あるいは、

    1+9=10、2+8=10、3+7=10、4+6=10

    と、足して10になるものが4組あるので、これらを足し合わせ、
    さらにまだ足していない5と10を足せばいいので、

    10×4+5+10=55

    こんなところでしょうか。

    トピ内ID:1353205422

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    懐かしい

    しおりをつける
    🙂
    ??
    1+10=11
    2+9=11
    ...となるので
    11×5=55
    (5は10÷2=5からです)

    トピ内ID:0404453480

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    足すと10になる組み合わせが4組

    しおりをつける
    🙂
    カカオ
    1+9=10
    2+8=10
    3+7=10
    4+6=10
    つまり
    10×4=40

    それに余った5と10を足す
    10×4+5+10=55

    になりますね。

    トピ内ID:2014514626

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    カール・フリードリヒ・ガウス だったかな?

    しおりをつける
    🙂
    藁子
    ガウスの逸話が有名ですね。

    ネットで調べると簡単に出てきますが、
    算数での先生の意図は、(自力で工夫して考える)だと思うので、パズルのように楽しみながら親子で試行錯誤してみてください。

    お子様がやる気すら無さそうなら、ガウスの伝記をネットで探して(本なら尚更可)出して「これ読んでみたらどうかな?」とお子様に勧めてみたらいかがでしょう。

    トピ内ID:8451158355

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    面白い方法があります。

    しおりをつける
    🙂
    数学好き
    それは、

      S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 を逆に
      S=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1 とおき、上下を足します。

     2S=11+11+11+11+11+11+11+11+11+11
       =11×10
       =110

     ∴S=55

    これはドイツの数学者オイラー(正しいと思いますが)の考えた方法です。面白いですね。

    トピ内ID:7311709676

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    順番に足さなきゃいけないの?

    しおりをつける
    🙂
    ブルー
    並んでる数字の端と端を足すと1+10=11,2+9=11,3+8=11...
    というように11が5つできるので、11×5=55って求めかたもありますけど

    トピ内ID:7760844448

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    そうですね

    しおりをつける
    blank
    わかめ
    これが算数の問題ならば、

    10
    1+9=10
    2+8 〃
    3+7 〃
    4+6 〃
    ここまでで50
    残りの5を足して55

    と答えるのが模範解答でしょう。

    トピ内ID:5776564180

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    10を作る。

    しおりをつける
    🐤
    ゆうひ
    たして10になる数字から計算。
    9+1、8+2、7+3、6+4、これで40.
    あとは残りの5と10を足せば55、どうでしょう?

    トピ内ID:1226824109

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    順番ならそれだけのような?

    しおりをつける
    🙂
    すもも
    私の頭では、
    1+9=10、2+8=10、3+7=10、4+6=10
    あと5と10が足されていないので、足して合計55かなと思ったんだけど。

    今ちょうど小3の子供の通信教育を見ていて、たし算の工夫に単元にありました!
    1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
    式の、前から1番目と後ろから1番目をたすと、11になります。
    式の、前から2番目と後ろから2番目をたした数も、11になります。
    同じように考えると、たして11になる組が、10÷2=5組できます。
    だから、足し算の答えは11X5=55です。

    他の問題は、1+3+7+9+11+13+15+17+19です。

    トピ内ID:4912672946

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    「110」を、2で割ればよい。

    しおりをつける
    🎶
    コールドブラッド
    まずノートに、1から10の数字を順番に横書きします。
    その下の行に、10から1の数字を逆順に書いていきます。
    上下の数字を足しましょう。必ずその合計は、「11」です。その「11」は10個あるわけですから、

    11×10÷2=55

    という数式が成立します。

    トピ内ID:5541109907

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    11×5で習ったがなあ

    しおりをつける
    blank
    サイフォン
    1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
    と書いて、1と10を結んで11,2と9を結んで11…で5ペアできるから、11×5
    と習ったがなあ、なんか「様々な計算の工夫」みたいな学習項目で。

    トピ内ID:1421246790

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    両方とも覚えるべし

    しおりをつける
    🐱
    緑鍵盤
    方法1)
    1から10を上手に組み合わせて「10のカタマリ」を作って計算する方法
     1と9 で 10
     2と8 で 10
     3と7 で 10
     4と6 で 10
    ここまでで、10のカタマリが4つできて、残っているのは、5 と 10
    なので、合計は55。

     この方法は、多くの人が無意識に使っている方法。
    たとえば、
     3+6+9+2+6+3+1+7+4 の計算なんかだと、
    3と7で10
    6と4で10
    9と1で10 ここまでで30
    残りが2と6と3で11なので合計が41


    方法2)
    数字がキレイに並んでいるときなどに使えるエレガントな方法。
    合計=1 +2+3+4+5+6+7+8+9+10
    合計=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1
    この2つを縦に足すと、1と10で11、2と9で11ってな感じで11が10個。合計は110だけど、2回足しているから半分にして55。



    高校で習う「等差数列の和の公式」ってのはこれと同じことをしている。

    S=n(n+1)/2
     「10個の」「縦に足した11」を掛け算して半分にしてるでしょ。

    トピ内ID:1471799617

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    懐かしいなー

    しおりをつける
    🙂
    かんな
    ガウスの話で、算数のノートの裏表紙に載ってました。
    昔は裏表紙にいろいろな逸話が掲載されていました。

    何故か、これだけは記憶に残っています。

    ええ、11×10÷2 のヤツです。

    トピ内ID:3227960830

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    はて?

    しおりをつける
    🙂
    パッカ~ン
    順番に足して悪いはずがない。

    先生はどんなテクニックを期待しているのかな?

    人口に膾炙した有名な方法は数理からの後付けのような気がしないでもありません。

    ところで

    1+2=3+3=6+4=10+5=15+6=21+7=28+8=36+9=45+10=55

    は等号の左辺右辺が等しくないですよ・・・(笑)

    トピ内ID:8732686356

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    トピ主です

    しおりをつける
    🙂
    明菜
    早々のレスありがとうございます。

    驚きです。こんなにも方法があるとは思いもしませんでした。

    数学者の藤原正彦氏によると、1と9の真ん中が5  平均が5だから1~9

    までを足すと5×9=45 これに残りの10を足すと55 だそうです。

    トピ内ID:7741536527

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      横です.口うるさいこと言って申し訳ないけど

      しおりをつける
      🙂
      元高校理科教師
      > 1+2=3+3=6+4=10+5=15+6=21+7=28+8=36+9=45+10=55

      この式,おっしゃりたいことはよく分かるので,日常生活ではいいかもしれませんが,お子さんにはお見せにならないようにしてくださいね.

      数学的には,「1+2」が,「3+3」に等しく,さらに,「6+4」に等しく・・・55に等しいと言う意味になります.横から口うるさいこと言って,ごめんなさいね.つい,教師根性が出てしまう.

      ついでながら,1から10までの合計を求める方法を見て,「ああ,なるほど,すごい」と感動すれば,高校で,等差数列の合計を求める公式 s=(A1+An)×n/2 の導き方を理解するのに役立ちます(あの公式,暗記して使うんじゃなくて,その場で作って使う公式ですね).

      トピ内ID:1970813613

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      あのさ、肝心なところが抜けているんだよ

      しおりをつける
      blank
      匿名
      この宿題の意図・目的が抜けているから何とも言えません。

      これがね、国私立中学受験(いわゆる中受)目的のものであるならば、
      公式とかを含めて理解する必要があります。(等差数列とか自然数の和)

      しかしながら、これが公立中高一貫だとすれば、
      その『どうすれば』を考えさせる目的の宿題である可能性もあるわけです。
      そうだとすれば、トピ主さんはしているのはカンニングと差はありません。

      それらとは別で補習塾プラスアルファ程度のパズルのような宿題のケースもある。

      だからこそ、この質問て親が誰かに聞いて答えを集めることが
      お子様の為になるのかを考えてみませんか?

      恥をかこうと、お子様が自分で辿り着いた方法を宿題として持っていけばよい。
      そして塾の授業などで色んな考え方を発表されて『なるほど』と感じるのが大事では?

      気付けないから、誰かに答えを教わろうなんてそんな親の姿勢で良いのでしょうか?
      親が見守れない、分からないなら、それこそ塾の先生に頼る部分でしょ?

      一体何のために塾に通わせているのでしょうか?

      トピ内ID:4265059427

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      面白かった

      しおりをつける
      🙂
      白茶
      >1+2=3+3=6+4=10+5=15+6=21+7=28+8=36+9=45+10=55

      これ、最初、何だろう?と思いました。

      1+2(=3)+3(=6)+4(=10)+5(=15)+6(=21)+7(=28)+8(=36)+9(=45)+10=55

      のことなのね。

      >数学者の藤原正彦氏によると

      なるほど

      直観的には

      ・足して10になるセットが4組あってのこりが5と10だから55
      ・足して11になるセットが5組で55

      だけれど
      平均を習った後だったら

      棒グラフを思い浮かべて

      ・6から4に1移して、7から3に2移して、8から2に3移して、9から1に4移せば
      5が9個できるから5x9=45 で残りの10を足して55

      って考えそう。

      …自分が小学生だった時に平均で考えたなら

      1と10,2と9,3と8,4と7,5と6の平均が、みんな5.5(=11÷2)だから
      平均5.5の物が10個あるので 5.5×10=55

      と考えたかも。

      横ですが、すももさんのレスの
      >他の問題は、1+3+7+9+11+13+15+17+19です。
      は、+5が抜けてますよね

      トピ内ID:8240530244

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      これまでに登場していない計算方法

      しおりをつける
      blank
      おじさんですが
      1+2+3+4+5と6+7+8+9+10に分けます。
      後者の5つの数は、前者の5つの数それぞれに5を足したものです。
      ですから後者の和は前者の和よりも5×5=25大きいはずです。
      すると総計は(前者の和)+(前者の和)+25になります。
      暗算で前者の和が15となる事が簡単にわかるので、
      総計は15+15+25=55です。

      トピ内ID:6449327626

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      なぜ数学者は平均値で説明したか 考えてみた

      しおりをつける
      💋
      pax
      > 数学者の藤原正彦氏によると、1と9の真ん中が5  平均が5だから1~9

      までを足すと5×9=45 これに残りの10を足すと55 だそうです。



      小生文系出身の一職人だった者で偉そうなこと言えないし、まちがってたら申し訳ないのですが 汗: 

      上記の数学者としての立場上、素朴に暗黙裡に数の足し算という演算の可換性を出せなかったので(数学書では最初の方で議論すると思いますが、一般の読み物?では退屈な文面になりかねないので)可換性の議論を抜きで説明したかったのだと思います。なので、トピ主が上記した平均値で説明する場合は可換性の有無を問わずできますので、上記の数学者はそうなさったと察してます。(それに平均値という概念は応用数学の範疇?だからより一層素朴に扱える)
      足し算の可換性が保証されておれば、等差級数の和の公式を作るときの考えが一般的だと、小生には感じます。

      小生は文系所属で学生時習いかじった哲学で、チョットでも素朴な自然的態度で専門用語を使ってレポートを書くとよく注意されたので、なんとなく上記の数学者の心の様子はわかるような感じがします 汗 

      お勉強系ではないので、間違ってたら本当申し訳ございません

      汗 脱水!

      トピ内ID:3581447394

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      なるほど,そういうことだったのか.

      しおりをつける
      🙂
      元高校理科教員
      某数学者の答を見て,数学者の癖にこんな頓智問題の答みたいなこと言って,こいつアホか・・・と思ったのですが,paxさんのレスを見て,納得.そういう深謀遠慮(?)があったのですね.

      軽はずみに専門家をアホと思った私がアホでした(汗汗汗).

      もっとも,足し算の可換性なんて,言葉は知らなくても,小学生でも知っているので,当然の常識のような顔をして使っても,小学生は不信感を抱かないとは思いますけど・・・? そうか,そういう,自覚なしで使っている前提があることに気付かせようとする深謀遠慮・・・?

      トピ内ID:1970813613

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      平均値

      しおりをつける
      blank
      あらかん
      >1と9の真ん中が5  平均が5だから
      他の方のレスにも、これに賛同なさる方がいらっしゃるようですが、
      文系の私にはわかりませんでした。
      平均値掛けるレコード数割る2というアプローチは気が付いていましたが、
      そもそも、平均値って合計をレコード数で割ったもの、ですよね。
      求めるはずの合計値、先に出てるじゃん!です。
      順番が真ん中だからそれが平均値、とはならないわけで、
      ひとつひとつのレコードの差分が同じである、とか、
      1から9まで線を引いた両端からひと目盛ずつ中心に寄って行ったら5で
      両端から5までのレコード数が同じ、という条件を満たさないと
      平均が5、って使えないのではないですか?

      トピ内ID:6760174388

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      書き忘れです すみません 

      しおりをつける
      pax
      可換性の以外に 

      結合法則 

      を言及するの忘れてました。

      申し訳ございませんでした。

      トピ内ID:3581447394

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      1から9の数の平均が5になることを一応説明します

      しおりをつける
      🙂
      白茶
      あらかんさんのおっしゃる通り「差分が同じ」だからです。

      数直線上に1から9までの数の点が等間隔1で並んでます。
      真ん中の5の左右に等間隔(左右対称)で2点が並んでます。(4,6)(3,7)(2,8)(1,9)です。
      それらは、それぞれ(5-1,5+1)(5-2,5+2)(5-3,5+3)(5-4,5+4)なのです。
      それぞれ、平均は5です。
      それぞれの平均が同じ5なのだから、全体の平均も当然に5だと解るのです。

      「順番が真ん中だからそれが平均値」なのではなく
      「等間隔に並んでいるから真ん中が平均値」なのです。
      等差数列だから成り立つんです。
      確かに「真ん中の5が平均」と書かれているのを見たら
      「順番が真ん中だから平均なの?変でしょ?」と思うのは無理ないですが。

      棒グラフで考えてもいいです。水平に高さ5の線で、5より上に出っ張ってる
      部分をぶった切って、180度回転させて5より下にへこんでいる部分にはめ込めば
      まっ平(長方形)になります。なので5が平均値だとわかります。

      数学者の藤原正彦さんが平均を使ったのは、別に、可換性云々ということは
      関係ないと思いますね。小学校の単元「工夫した足し算」?で暗黙に可換性
      を使っているのだし。単に方法の一つでしょ。

      ネットで「1から10までの和」でググると、ここでレスされている方法は
      大抵紹介されていました。
      数学者の松岡学さんのブログでは3種類の方法が紹介されていて
      そのうちの一つは、平均値を使った方法でした。

      トピ内ID:8240530244

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      平均値を使う方法

      しおりをつける
      🙂
      元高校理科教員
      paxさん,そう言われれば,合計をだす時,結合法則もかかわってきますね.

      何気なくやっている計算の裏に潜む前提を露わにして,そういう前提なしならどうなるか,そんなことに気付かせる方法としては,平均値を使う方法も面白いかもしれません.交換法則や結合法則が使えないとこんなにややこしいことになるよ,と.

      でも,これ,小学生向けの話じゃないですよねぇ.中・高校でもここまでややこしい話をするかどうか.中・高では,せいぜい,「結合法則」,「交換法則」の名前を出す程度じゃないかなぁ.大学教養レベル?


      あらかんさん,おっしゃる通りだと思います.この問題の場合は,

      1) ひとつひとつのレコードの差分が同じである
      2) 両端から5までのレコード数が同じ、

      の条件が成り立っているので,平均値の方法が使えるのだろうと思います.

      ただし,1--10の合計を求めるという元の問題は,条件(2)を満たしていません.そこで,1--9の合計を求めるという回り道をせざるをえない.つまり,問題ごとに(例えば,1--11 の合計)回り道が必要かどうかを判断する必要があります.

      さらに言えば,

      3) 奇数個の等差数列の場合,その中央値が全体の平均になる

      という暗黙の前提があります.あらかんさんがご指摘になっている論点先取の疑いは,この 3) に関わるのだろうと思います.

      そんな問題がある解法ですので,(ある数学の先生の言葉を借りれば)間違いじゃないけど「エガントじゃない」解法だとおもいました.

      結合法則などに気付かせるとか,できるだけいろいろな解法を考えてみるとか,特別な理由がなければ,下手くそな解法じゃないかなぁ・・・? だから,その数学者の先生が平均値を使った解き方を示された前後に,なにかそういう下手くそな解法を持ち出した理由の説明があったんじゃないかと想像します.

      トピ内ID:1970813613

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        よく言語化していただきました 

        しおりをつける
        🛳
        pax
        > 数学者の藤原正彦さんが平均を使ったのは、別に、可換性云々ということは
        関係ないと思いますね。

        まさに、そうなんです! うまく言語化していただきました。
        可換性云々関係なくすることでそれに関して明示的に言及する手間を省けたのです。

        例え話ですが:哲学者が「無意識」という言葉を使わずにレポートを書くとき、暗黙裡(無意識に 笑)には無意識(と等価の事柄)を議論してるが、明示的に記載されるレポートのコンテキストからは「無意識」とは関係ない議論をするという手法を使います。
        上手く説明するのは難しいですが 汗 

        トピ内ID:3581447394

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        そうではなくて

        しおりをつける
        🙂
        白茶
        paxさんへ

        30年以上前に理学部数学科を卒業した者の一人としての見解です。

        いろいろ考察なされることは、素晴らしいことと思います。

        しかし

        >> 数学者の藤原正彦さんが平均を使ったのは、別に、可換性云々ということは
        >> 関係ないと思いますね。

        >まさに、そうなんです! うまく言語化していただきました。
        >可換性云々関係なくすることでそれに関して明示的に言及する手間を省けたのです。

        私の言っているのは、そうではなく

        「藤原正彦氏が平均値で説明した理由が、可換性云々だろうという、推測は
        ハズレだと思いますよ」

        という意味です。

        ですが、paxさんに迎合している方もいらっしゃるようですから
        もしかしたら、アタリなのかも知れませんね。

        たとえ、ハズレていたとしても

        >間違ってたら本当申し訳ございません

        このように、謙虚になさっているpaxさんは、好感が持てて、素晴らしいと思いますよ。

        トピ内ID:8240530244

        閉じる× 閉じる×

        コメントありがとうございます

        しおりをつける
        pax
        元高校理科教員 さま
        示唆に富む補足ありがとうございます。 

        白茶 さま 
        言語化ありがとうございます。

        トピ内ID:3581447394

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        コメントありがとうございます 

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        pax
        > 私の言っているのは、そうではなく

        「藤原正彦氏が平均値で説明した理由が、可換性云々だろうという、推測は
        ハズレだと思いますよ」

        という意味です。

        ------------------------

        たしかに、数学書での話なら仰る通りと思うのですが、職業的数学者が、一般者向けの一読み物で書くなら、一々可換性など言及せずに済む方(可換性など無関係の方法)を紹介するのじゃないかなと、単純に思ったのです。

        良くわかるコメントありがとうございます。

        余談ですが、高校時、大学は理学部数学科に憧れた者ですが、将来は職人をやると心決めしてた小生は、職人仕事と無関係ではなかろうとの勧めで、哲学関係(美学)を専攻しました(あくまでもサワリ程度。本格的にやるには小生には難しすぎました)

        トピ内ID:3581447394

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        55

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        blank
        蓬莱
        1+10=11 2+9=11 …11×5=55 1~100も同じ要領。

        トピ内ID:7259307283

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