海沿いという事でパッと浮かんだのが葛西です。
住んだ事もないし知り合いもいないのですが、
ペット可の物件もありそう。

今回の台風で海側はかなり被害がでてますよ？
ペット可になると安い部屋はなかなかないんじゃないかな？？

まず赤坂見附は港区になりますが、港区は1Kですと13万以上、1Rならギリ10万下回る物件もある(9.8とか)というのが相場です。
一軒家でもマンションでも！なんて仰っていますが、二人と犬一匹が住める広さはどの程度を想定していますでしょうか？
職場に近い方がいいなら、かなりのボロアパートなら少し広さは確保出来ますが、そうなると犬禁止の物件が増えます。

通勤時間40分以内というのは片道の話ですか？
それなら綾瀬なんかは子育てしやすい町ですし(娘さんの年齢が書かれていないので成人でしたらすみません)スーパーも多いしおすすめです。
あとは北千住なんかも商店街など栄えていておすすめですが、住みたい街ランキングに入ってから家賃が上がりつつあるので今はどうかな…。
綾瀬も北千住も松戸がすぐ隣なので千葉寄りです。海は近くないですけど。かといって海の近くになると今度は職場が遠くなってしまうのでは？

職場が港区で家賃相場の高い地域なので、職場の近く！というお考えは捨てた方がいいかもしれません。

その条件なら家賃15万円が妥当かと。
娘さんの年が分かりませんが、バイトでも働けませんか？

10万円って治安がいいワンルームか、アパートの予算かなぁ。
犬が居るならワンルームは難しいし、２人でワンルームは…

通勤時間を伸ばして、駅近で安い所にするか。
駅から遠くても、通勤時間を短くするか。
関東では通勤１時間が普通ですよ。
なんにせよ、何かを譲った方がいいと思います。

あと、九時五時の仕事なら満員電車でキュウキュウは免れません。
遠くても始発駅で座った方が痴漢防止には有効です。

葛西から千葉方向でしょうか
でも40分では厳しいかも？
家検索で乗車時間30分で探してみては？
残り10分は徒歩と、電車待ち時間ですが
ドアtoドアで40分なら乗車20分で検索が良いかもです

家賃は古くて狭めなら10万でもあるかも？
ネックは40分だと思います
駅から近いと家賃高いです

友人夫婦が転職の為、埼玉の川口市に引越ししました。

２LDKで家賃７５０００円だと思います。お子さんはいませんが、猫２匹飼っています。

ご夫婦共、通勤時間が一時間と聞いてます。普通みたいですね。

災害とかも少ないし、買い物も便利で住みやすいと言ってました。

海にこだわる理由にもよるんですが、内陸のほうじゃダメですかね？
千葉や東京あたりだと海沿いって、安い賃貸がある場所はあまり良くないイメージ。
水のあるところっていろんな人が集まるんですよね。

内側のほうで、さらに都内じゃなくて千葉県もしくは埼玉県まで範囲を広げれば、ご希望の物件はかなり多くなると思いますよ。
この条件でも良ければ、船橋とか松戸とか。
主要駅じゃなくて２、３駅離れたところにすれば、10万でかなり良い賃貸ありそうな気がします。
（埼玉はあまり詳しくないのですみません。でも都内に埼玉から通ってる人って多いですよ）

赤坂見附あたりを考えています
って、
転職希望が赤坂見附で
そのあとは、転職が決まってからの話で。。

どちらからお出でですか？