おそらくはプラスチック部分の劣化だと思われます。
柑橘類の皮のオイル成分とか、重曹で薄まるそうですが、物が物だけにお奨めは出来かねますが。

だったら電池の液漏れが一番の可能性だと思います

それはプラスチックなどの樹脂製品が加水分解した際に発生する匂いではないでしょうか。
酸性の匂いがしますから。
そのまま放置しておくと、やがてベトつきなども出てきます（合成皮革の製品なども長年置いておくとベトつきが出たりしますよね）ので、早めに重曹を水で溶いた液やアルコール等で拭いたほうがいいでしょう。
100均などにあるよごれ落とし剤で拭くのも効果があります。
時計なので難しいでしょうが、できれば外側だけでなく内側も拭いたほうがいいですね。
もう使うことはないと思うのであれば、もう廃棄してしまってもいいと思いますけど。

外側だけでなく、中も見てください。
液漏れなら、素手で触らずビニール手袋で電池を外さないと。それから、中を拭いて電池を替えてください。
違うかも知れませんが、中も見ていただけたらと思いました。