会社勤めだった人が退職したら、市町村役場に行って社会保険（健康保険と国民年金）の手続きが必要です。これを怠ると年金未払い、健康保険未加入の時期が発生します。

トピ主さんは初めての退職なので知識がないかと思いますが、勤め人の場合、健康保険も年金保険も職場で独自の制度を持っています。したがって、退職と同時にこれらの保険も自動的に脱退となります。

厚生年金脱退による国民年金への加入手続きは必須です。健保は任意継続という制度もあるので手続きなしの場合もあります。この2つは黙っていたら何も起こらないので、こちらから出向く必要があります。詳細は退職時に職場の担当者に聞いてください。

住民税は何もしなくても向こうから納付請求票がやってきます。年内に退職すると、年内に再就職した場合でも確定申告（所得税納付）が必要になります。

無職経験者の私からアドバイスですが、税金と社保の納付票をみると、たぶん再就職しなくてはと思うはずです。結構な金額になるので、覚悟しておきましょう。

寿退職との事ですが、退職後間を置かずに籍を入れますか？
或は、退職よりも入籍が先ですか？

上記の場合と、退職後に入籍まで１日でも間がある場合では手続きが違います。

入籍後の退職ならば、健康保険も年金もご主人の会社へ扶養の届けをすれば市役所での手続きは要りません。
ご主人の会社でやってくれます。
(勿論、戸籍や住民票等の書類を取りに市役所へいく必要はありますが)

入籍が退職後なら、健康保険は自分で国民健康保険に加入しなければなりません。
年金も、国民年金に加入します。

住民税は、入籍如何に関わらず、後で納付書が来ますから、自分で金融機関やコンビニで支払います。

つまり、第三号被保険者になるかならないかで、手続きが異なります。