以下のような表にまとめて業務効率化を発令している上司に提出しましょう。

提案：ネットバンキングの活用
提案者：経理課餃子
意見：銀行との付き合いがある（経理課山田）
結果：却下

先輩とは揉めると思いますが。

>上から業務を効率化せよという命令

餃子ちゃんさんに直接降りてきた命令ですか？
却下されてしまうポジションの人にいきなり無茶振りですね・・・
細かい内容を色々考えるよりもまずは進め方の議論をしましょう。
下記のことを決めるために指示してきた人と会話してください。

１いつまでに：計画出し、スケジュール検討
２どのくらい：内容決め、どのくらいの工数を空ける設計？
３どうやって：現場への周知はどうやって、いつまでに？
４いつから：実運用開始
※役割分担：餃子ちゃんさんが人減らしのところまで担当するのか？

大枠の案をスライド５枚くらいにまとめて議論すればいいのかなと思うのですが。
２の内容決めのところは現場をよく知る餃子ちゃんさんの腕の見せ所ですね。
３の周知は偉い人に入ってもらう必要が出てくるかなと思います。
また却下されてしまうと二度手間なので。
３と４の間くらいに必要書類の整備など事務タスクも発生しますね。

余件として、暇になったら首になるとの懸念を持つ人たちには
空いた工数で取り組む新しいことを提示するというタスクもありますよね。
彼らが一番の障壁となっていて実施ができないということであれば
そのへんの説得（？）などは偉い人に巻き取ってもらいましょう。

人減らしのための施策であれば
人を切るところまで餃子ちゃんさんのお仕事なのかどうか
確認した方がよろしいかと思います。

トピ主さんの会社の指揮系統は、
よくあるピラミッド型ではないのでしょうか？

通常、全体的な業務の効率化は、
全社的or部・課単位で考える問題であり、
部長や課長、または代行者が取りまとめる問題ではありませんか？

取りまとめる方がいらっしゃるのであれば、
トピ主に出来るのは一意見として報告することだけであり、
採用するかどうかは上の方が判断しますから、
少なくともトピ主さんが先輩を納得させる必要はないと思いますが。

あるいは、トピ主さんの業務を効率化してほしいという指示でしょうか？
個人的な指示であれば、全体面ではなく、
個人の仕事を効率化するためにはどうするべきかを考えればいいのでは。

トピ主、人を変えるのはすぐには無理だ。

まず自分の仕事の改革から始めるのだ。

提案するのではなく実行から始めるのだ。

それが無理というならトピ主も諸先輩と同類だ。

無理な理由を考えたり言っている暇があればまず実行せよ。

効率よくネットバンキングに！と言っても、
年間にかかる費用と銀行に行く為の時間＆人件費の比較は出来てますか？

新しい物事には、年長者は慎重です。

文具の購入は、月イチの〆で請求されるネット通販の説明はされましたか？
立て替えの必要もなく、当日か翌日には届きますよね。
その説明はしましたか？

現在より何が効率的になるのか？！
メリット、デメリットはどう影響するのか？を
キチンと説明出来れば、検討してくれるように思いますよ。

ただし「費用対効果」を明記しましょう。
「業務効率化」ならば「削減工数」を人工で出せばよい。

例えば「文具の生産を毎日⇒月一回」によって経理での伝票処理の頻度が下がり、作業時間が「５時間×２人分削減」出来るとか。

通帳減らしてネットバンキングにしたらなんで効率化になるのかはよくわからないです。説明してくれれば検証しますよ。

普通の会社であれば
・現状の手順と工数
・変更後の手順と工数
これを作業ごとに割り出した上で優先順位つけて進めると思いますけど。

現状リサーチと改善案は現場から出したとしても
導入の周知や指示出しは上司マターかと思います。
「よくわかんないけど改善しといて～よろしく～」みたいなノリですか？
改善なんてものは必ず軋轢が生じるから社歴が浅い人に任せるなら上席がサポートしないと無理。
会社と上司がおかしいと思う。

社歴の浅い人の提案はあっと驚くアイディアのこともありますが、先輩たちからちゃんと理由つきで却下されているところをみると、とっくに検討済みの案なのではないでしょうか。

ネットバンキングに変更しても手数料はかかる、会社の口座の場合は、個人のネット口座よりさらに厳重なセキュリティが必要ですよ。
振込以外の財務案件で銀行と交渉事があるので、担当者とは対面の関係を維持したい、などもあるかもしれません。

立て替えは、社員個人の家庭の事情があるので難しいところです。
立て替える人が大変、というのは頷ける理由です。
お小遣い1万円のパパが出張で５千円の特急券を立て替えたら、できるだけ早く返金してほしいと思うでしょう。

経費精算を月一、週一にするのなら、仮払金で事前に必要金額を渡す制度とセットにしてあげたいものです。
でもそうすると、経理業務は効率化どころか複雑化しますね。

「業務を効率化するとクビになる」と先輩二人は公言しているのでしょうか？そんなに働きが悪い先輩たちなのですか？
リストラされるなら、一番下のトピ主さんの可能性もありますが・・・。

反論するのではなく、まず先輩たちが却下する理由を、トピ主さんがじっくり考えてみてはどうでしょうか。

良い効率法が見つかるとよいですね。

業務改善の意味は人員削減とマンパワーを適切に割り振るためだと思います。600人規模の会社なら経理でなくともいろんな仕事がありますよね。その文句言う人は経理以外やれないんですか？公務員じゃあるまいしそんな融通の利かない人、社員にしとく意味ないです。

貴女の改善案と反対社員の言う弊害を両論併記して、それを検討の結果として上に提出すればいいと思います。