他の人のことも暴露するということは、悪意はなさそうですね。しかし悪意がないからこそ厄介ですね。おそらくそういう性格なのでしょう。
私だったら思い切って「集中しないとミスをするタイプだから、仕事をしている時は話しかけないで」とか言って話しかけられる回数を減らしますかね。

　方法には色々ありますが、職場に対してのミスの周知や報告は会社員の常識ですし義務です。隠蔽は罪です。善後策だけでなく再発防止の為のケーススタディや業務改善にも関わるものです。

「結構大きな声で・・」

　別に構わないですよね。
　中途半端に聞こえるのでなくハッキリと聞こえれば他の人に正しく内容は伝わります。職場として影響のない内容なら、みんなそのつもりで聞き流しますよ。本当に笑って済ませられる内容なら、笑って終わりです。
　他の人でも起こす可能性のあるミスなら、誰もあなただけの問題とは思いません。職場への注意喚起ですよね。「私も気をつけよう」と思ってもらえます。

　しかし隠してもらおうとしている場合・・
　本当は笑って済ませられることでも、その影に何が隠れているのかを疑われます。氷山の一角と思われることもありますよ。

「席替えもお願いしようかとも思ったのですが・・」

　ミスをバラされることを理由に席替えをお願いすると、会社員としてダメ人間決定になりますよ。

　失敗は誤魔化さず、同僚が同じミスを犯さないように周知しましょう。

　そしてミスを誤魔化すことに努力をするのでなく、
ミスをしないように努力をして下さい。
　それが社会人です。

〉私は人のミスが合ったときは、どうしても必要な時だけ上司に話す程度にしているのですが、

ここじゃないですか？
あなたはリーダーですか？
仕切れる立場ですか？

人のミスは自分のいずれするかもしれないというミスとして学べば良いのです。
どうしても必要　ではその必要の基準は何ですか？
組織で働いていれば自己基準の設定が後々大きな勘違いに繋がることは理解されてますよね。
要はチクリ合いが常態化している。
問題はそこで、
彼女にも非がありますが進言するとしたら上司に対してではないですか？

私もある職場で同じ状況だったので、とてもよくわかります。

いくつかの職場で働いた経験がありますが、ミスを大きな声で周知するように言う人は他にいませんでしたよ。あなたの気持ちはよくわかります。

お隣の方、仕事が少ない、もしくは単調な仕事をされているのではないですか？
負けず嫌いな方ではないですか？

そのうち、あなたはお隣の方から指摘されないようにすることに神経を削られて余計ミスが増えてしまうと思います。

上司に深刻さを訴えて、席替えをしてもらうか、お隣の方の仕事を増やしてもらうかしていただいた方がいいと思います。