トピ主さんの派遣での就業が生計手段であるなら、リモートワークができる(出勤できないから無収入・派遣会社の休業補償も無い)ではなくてまずは良かったです。

有給休暇は、次の仕事が同じ派遣会社で確保できているなら、ご自身で使いたい用途がなければ持ち越しが良いとは思いますが、次の仕事が決まっていないと微妙ですね。
派遣会社を変われば働き方改革の消化義務(年5日以上)も適用されないでしょうし。
個人的にはトータル20年以上位派遣をしていたと思いますが、別に消化は義務ではないので、あまりこだわりなく捨てていました。(病気で出勤できないというケースが実際にはなかったので)
そこは就業先都合での終了なのですから、就業先としても派遣会社としても嫌でしょうけれど、とれる権利はあるということになるとは思います。

>離職票
まずは派遣会社に聞いてみては。
義務・権利的なところでは、「派遣先での勤務の終了後、1か月間派遣会社から仕事をオファーし続け、就業が決まらなかった場合は会社都合(条件があわなくてオファーできる仕事がなかったり、そこそこの条件でも断るというのもあるので何とも言えませんが)」…というのが多いようですが(法律はどうなっているかは不明です、すみません)、個別の要件で情状酌量でよく取り計らってくれるようなケースも往々にしてあるとは思います。

引継ぎを就業先内部ですますれば、就業先から派遣会社への支払いが減らせる、ということでしょうか。
そのケースでは、トピ主さんが時間・労力的に「(有給休暇は消化したいけれど)出勤もしてよい」のであれば、派遣会社に有給休暇を買い取ってもらうこともできる場合があります(法ではグレーで、どちらにしなければならないというのはないです)。それでもよいなら派遣会社と交渉しては。
派遣会社としては損害は減らせるのでただ有給休暇を使われるよりは歓迎と思います。

契約期間満了で更新なし。
派遣先と派遣会社の間の契約が満了しただけ。
会社都合にはなりません。

その派遣会社が次の派遣先を紹介するのが筋ですから、派遣先との契約満了を理由に会社都合とか自己都合とか判断はしません。

派遣会社が次の派遣先を探せなかった場合、派遣会社は休業補償をしなくてはなりません。
そんな場合は会社都合によります。
派遣会社が次の派遣先を紹介してくれたけど、あなたが気に入らなく受けなかった場合は、あくまであなたが自主的に働かないのだから自己都合ということになろうかと思います。

もちろん、細かい条件によって取扱いが変わり、一概にこうとは言い切れませんが、およそはこんな考え方です。

トピ主様、コロナの影響により業績低下で更新無しは残念でしたね。有給休暇に関しては、雇用主の派遣元が退職日から逆算して取得する等、就業先と調整してくれるといいのですが、期待できないでしょうか。こればかりは担当者次第なので難しいですね。余談ですが、失業給付受給をお考えでしたら主様の場合、「離職コード23、特定理由の契約期間満了による離職」に上記に該当するかと思います。会社都合ではないですが、特定理由に該当する為自己都合退職とは違い3か月待機なく失業保険が貰えます。当の私が今受給中です。すぐ就業が決まっておられたら無視してください。尚、退職理由次第で自己都合より失業給付期間が凄く貰えます。現在、この理由で失業給付の申請者は多いです。また国保も退職理由により軽減措置が受けられます。
気になる点は、派遣会社対応ですね。
失業給付に関してはハロワにお尋ねになると、いいですよ。

もしかしていろいろなのかな。

私は専門職の派遣をしています。
契約満了って「会社都合」ですよ。いつも。
会社の業績やプロジェクトの終了などで、就業がもうないわけだから会社都合だし、これまでずっとそうです。

こちらが辞めたくて辞めるなら自己都合ですが、あちらから更新なしを言ってきたなら会社都合です。

私は有給は必ず全部消化するので、最後の２週間は完全にお休みを頂いています。

ただ、もし同じ派遣会社で次の仕事が決まっている場合、もしくはむこう半年（？だったかな。１年だったかな。ここらへんは定かじゃないので要確認）くらい、未消化の有給を持ち越せたと思ったので、そこらへんは今の派遣会社に聞いてみてください。

前は有給を買い取ってくれるとかもあったんですよね。もう最近はそれはないので、消化したもの勝ちですよ。

＞どのくらい自分の要望を通していいものか

正解というのはなくて、トピ主さん次第です。
ただ会社の都合で突然職を失うのにそれ以上会社の都合に振り回される必要はありません。ドライに動きましょう。

辞める会社の引継ぎですから、最低限でOKですよ。