まず養子縁組に関して、
「普通養子縁組」と「特別養子縁組」があるのはご存知でしょうか？

「特別養子縁組」には制限や条件が多く、
まず年齢制限が一番に上げられます。６歳未満の子供のみです。
「普通」と「特別」の違い、およびその他の条件はご自身で
お調べください。ネットにいくらでも載っていますので。

で、トピ主さんが義兄の子を養子にする、というのは基本的には可能です。
（出来るかどうか？という質問なら”出来る”が回答です）

義兄が自分の子を養子に出すことを拒否した場合に関しては、
裁判、というか家庭裁判所での審理になると思います（なぜ審理に
なるかは、トピ主さんが思っている義兄の育児放棄が本当に
あるのかないのか？、養子縁組をした方が子供にとって有益かどうか？
の審理ってことですね）。

今の段階では「育児放棄に値する」”と思われる”だけですから
我々もそこは何とも言えません。

５歳だから小学校にはまだ上がっていないだろうから、
保育園なのか知りませんけど、園長に様子を聞く、
児童相談所に相談する、そして弁護士を介して義兄と話をする、、
などが先であって、いきなり裁判がどうとかじゃないと思いますよ。

まあここで聞くよりも一度弁護士に相談されたらどうですかね？

実父親と祖父母が育児放棄状態だとして、実母親がいる以上、トピ主さんが親になる事は出来ないと思います。父親が養育者として不適格ならば母親と暮らす事になるでしょうね。

まずは児童相談所に通報しましょう。そして姪子さんを守ってください。
保護は出来ても養子にするのは実母親の同意も無ければ無理です。

お兄さんと話し合いでそうなればいいですが、反対されたら裁判、はできないと思います。親がいる（同居の父親も、どこかで別居の母親も）子供を、身内とはいえ別の夫婦が取り上げることはできません。育児放棄されて子供が危険な状態なら、児童相談所に通報してください。で、親権が停止されて施設で暮らすレベルと認定されるほどなら、家庭で育ったほうがいので、あなた達夫婦にももしかすると出番があるかもしれません。

皆で話し合うことも出来ないほど殺伐としているのでしょうか。

裁判？
実のお母さんはどのような立場なんでしょう。

育児放棄に値するからといって、なんか先走っていませんか？

＞義兄が養子にすることを拒否した場合、裁判などで争う事は出来るのか

無理なのではありませんか。

そもそもの部分で、義兄が我が子を養子に出す権利はあっても、トピ主さんに限らず、誰であっても義兄の子を養子に出来る権利はないのですから。

トピ主さんが義兄の子を養子にしたいと思っても、義兄が断ればそれまでの話だと思います。

実家で暮らしていて、義兄のみならず義両親も育児放棄をしているのであれば、まずは自分達に面倒を見させて欲しいと、義兄と義両親に申入れをしてみたらいかがですか。

ただ、それでも子どもにとっての母親の存在は無視出来ないでしょうから、義兄と義両親では育てることが出来ないのなら、子どもの母親に養育の意思があるかを確認したり、子どもが心身共に危険な状態にあるなら、児童相談所への相談や通報も視野に入ってくることだと思いますよ。

まずは、義両親も含めて家族で話し合うことだと思いますけどね。

育児放棄をしているのら、身内のトピ主さん夫婦が手伝い、養育をすればいいだけで、
養子にしなければならない理由にはなりませんよ


いっき飛びに養子という時点で、トピ主さんご夫婦のエゴが垣間見えて危険だと思います

本当に姪御さんの、福祉を考えるのなら
まずは十分な既成事実をつくってはどうですか？

児童相談所、福祉事務所(家庭児童相談室)、民生児童委員など、子供の福利厚生に関わる機関と接触して、「里親」を目指すのはいかがですか？

里親とは単なる養育機関ですから、養子縁組のような戸籍手続きをする必要はありません。

今は可愛い盛りかもしれませんけど、養子に迎え育てていたら反抗的になったとか勉強ができないとか、こんなはずではなかったと後悔するときがきたらどうしますか？

蛇足。
特別養子縁組に言及されたレスがありますが、今年の四月から制度が改正されました。
詳細は法務省の公式ＨＰを参照してもらいたいのですけど、
年齢制限の緩和(原則１５歳未満)、
二段階手続きの導入と児童相談所長の手続き関与、
実親の同意権の制限、
など、子供の福利厚生を重視する方向で改正されました。

どのようなことを育児放棄と考えているのか
そこを細かくかけないようでしたら
ここでの相談は難しいでしょうから
弁護士などに相談してみるしかないのでは。

養子として引き取るのが可能かと言われても
実際に法的に育児放棄にあたるのか
例えば義兄がめんどうみていなくても
同居の祖父母が見ていれば育児放棄とは言えないかもしれないですし
そもそも子供には実母はいないのでしょうか？
仮に実母や義両親がだめでも、実母の祖父母もいらっしゃるかもしれないですし
あなたは義弟の妻ですから
そこまでの権限はないように思いますが。

そして本当に子供が危険にさらされていると思うのならば
児童相談所に通報するのが義務でしょう。
それとその子を養子にするのかどうかは
全く別の問題ですが
子どもの安全は一刻も早く確保される必要があります。
そもそも通報するレベルのことでもないのなら
虐待とは言えないでしょう。

そもそも叔父にあたる夫はなんと言っているのですか？
彼も同意見なのですか？何も彼の意見が出てこないのですが。

>育児放棄に値すると思われる
これがどういう状況なのかわかりませんが、明らかに姪っ子さんが危険に晒されているのであれば、まず189か児相に通報してください。

義兄の元奥さん、義両親、トピ主の旦那さんはどうしているのですか？
それがわからないと何とも答えられないです。

もし義両親や義兄と関係がいいのなら、
トピ主さんたちは親せきなんだから、近くに住むなり頻繁に顔を出してで助けてあげたらいいことだと思います。

それができず、一足飛びに養子ということは、関係が良くないんでしょうね。
義兄や義両親とは関わりたくないから、養子に。という考えになるんでしょうね。

預かるのも無理ですか？
それこそお子さんの長期休みはずっとトピ主さん宅で過ごすとか。
そのときに新しい下着、洋服、身の回りのものを整えて持たせてあげれば、次の長期休みまでもつでしょう。
助けてくれるということであれば、義兄さんもそう頑なにはならないような気がします。

こどもを「取られる」となると、虐待親でも強く抵抗します。
一度そういう敵対関係になると、なかなかことは難しいと思います。