「特化した病院」はどこですか？
決まっているのなら、そこに変更してもらえばいいのです。ちゃんとプレゼンできますか？
「まだ決まってないのですが」でしたら、先生の二度手間、三度手間になりますから、迷惑でしょうね。

紹介状(診療情報提供書)の宛先を変更し、今の予約をキャンセルし新たに取り直すことは時間は掛かるが可能でしょう。
今の主治医と相談してもはっきりここへという病院がなかったようですが、トピ主さんの受診希望の特化した病院は決まっているの?
今回の身体の不調とは別でもこれまでの検査結果が蓄積されている病院を受診、より詳しい検査や専門医の受診が必要ならそこから紹介してもらってはどうでしょうか？

紹介状の宛名は、紹介先の先生の名前ですか？
先生の名前ではなく、病院の名前を記入せず
担当医御侍史のような感じなら
他の病院の予約にも使えます
書き直ししなくて良い場合もあります
それも含めて確認されてはいかがでしょうか

もし記入してあるなら、書き直しを先生にお願いするしかありません
先生が書き直す手間がかかるけれど、正直に思いを話し　謝罪すれば書き直して貰えると思います


予約は誰がとったのですか？

働いてる病院が窓口となり予約したのならば、手配をしてくれた事務員さんにも謝罪すれば良いと思います

書き直しや紹介先の変更は、ない訳ではないので
(家族と話してやっぱり～と言う人もいます)
素直に気持ちを話されてはいかがでしょうか

もしも多少嫌な顔されたとして、しょうがないですよね
身体の事だから納得して受診したいですよ
本人が迷う気持ちも分かります

希望の病院に受診出来たら、また改めてお礼も伝えたり
コミュニケーションとられてはいかがでしょうか

すべてに当てはまるかはわかりません。

以前A病院宛に紹介状を書いてもらいましたが、ご近所の方がその病院の受付をしているとわかり、A病院へ行くのを断念（デリケートな病気でした）。
B病院に、A病院宛の紹介状を持っていますが診ていただけますか？と問い合わせ、快諾されたのでB病院へ行きました。
受付の方や先生に謝罪しましたが、内容がわかればどこ宛でも何の問題もありませんよとのことでした。
例外かもしれません。

再度頼んでも問題ないと思います。

自分がここだ！と思う病院でなければ、かかりたくないです。深刻な病気であれば尚更です。

去年、手術が必要な病気になりました。普段診ていただいているクリニックでは手術不可のために近所の大きな病院に紹介状を書いてもらうことになりました。

近所に大きな病院は２つありますが、どちらが私の病気に良いなどのお話は先生からはありませんでした。

自分で決めるにも決め手もないし、けれど適当に決めるのも不安だから、両方の病院で一度診察を受けてから決めたいと先生に伝えました。

すると先生が
・同時に２通書いて渡すので、両方に行く
・とりあえずどちらからに紹介状を持って診てもらい、そこが嫌ならば、またそのクリニックに行き別の病院宛に再度紹介状を書いてもらう。
・病院名を入れずに紹介状を１通渡すので、家でゆっくり考えてから、どちらかに行く。

という方法があると。

実際、１つ目の病院に行くも色々と合わず、２つ目の病院に行きました。２つ目の病院でもここに至るまでの経緯を話しましたが嫌な顔もされませんでした。「納得する病院で、納得してから手術を受けることが一番です」と先生もおっしゃっていました。

私ならば、変に取り繕わずに正直に気持ちを話して、紹介状を書き直してもらいます（料金は再度かかると思います）。

その際、特化した病院は自分で探して決めてから行くか、決まっていないのならば病院名なしの紹介状にしてもらうらこと、また既に予約した病院の取り消しも忘れずにね。

主さんが行きたくなった病院（その特化した病院）に、他院あての紹介状で受診できるかどうかを尋ねる。
ＯＫならそのまま予約を入れればいいでしょうし、ダメなら取り直す。

紹介元の働いている個人病院には診察結果を出されるかも知れないので、事前でも事後でも病院を変えたことを話せばいいだけのことではないのですか？
病院の裏側が、そんな簡単なものではなかったらごめんなさい。

宛先に次の病院の医師名が記載されている場合には既に話が通っているので、次の病院から更に紹介してもらうのが筋ですが、担当医御侍史や御机下などの宛名なら書き直ししてもらっても特に問題無いかと思います。
ただ、同じ医師として思う事は「その時言えよめんどくさい」です
ちなみに学閥が違うと紹介してもらえない場合もありますので大病院からの紹介の方が良いです。