確率問題　教えてください。

レス17

（トピ主 2 ）

🐶

ken

2016年07月08日 21:57

話題

30本中1本当たるくじがあります。
そのくじを200回引いて120回以上当たる確率を教えてください。
くじは1回ごとに新しく用意し前の当落の結果に左右されません。

私が計算した結果では10のマイナス87乗くらいになってしまい
余りに低い様な気がします。
私が建てた式は以下の通りです。

■(n=120...200) (1/30)^n × 200 c n

^はべき乗 200 c n はコンビネーション

よろしくお願いします。

トピ内ID：7632501196

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更にずっと低い

名ばかり臨床検査技師

2016年07月10日 20:29

　10の-87乗どころではありませんよ．当方の計算（Excel使用）では，約6.2×10^-122（10の-122乗）です．　200回引いてr回当たる確率p(r)は，　　p(r) =　200Cr*(1/30)^r*(1-1/30)^(200-r)　で，これをr=120から200まで加えた値が求める確率です．トピ主さんの計算は，"(1-1/30)^(200-r)"を掛けるのを忘れているところが問題です．一般化していうと，確率qの事象がn回の試行のうちr回発生する確率という二項分布の計算は　　nCr * q^r * (1-q)^(n-r) になるのであって，3番目の項を忘れないように注意する必要があります．　そもそも当たる確率が1/30しかないくじとなれば，200回引いて120回以上当たるなどという事は凡そ期待できないわけで，確率は事実上0と考えてよい事になります．　尚，当方の計算だと，トピ主さんがされたと思しき計算結果が9.4×10^-121となり，何故10^-87のような結論が出てきたか量りかねております．

トピ内ID：1185205922

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統計の感覚を身に着けることを期待します

電気技術者

2016年07月10日 23:35

　文字化けしている黒い四角は、和を取る大文字のシグマのつもりということでいいのでしょうか。　少なくともトピ主さんの式には、一つの間違いがあります。大体分かっているようなので、場合分けの考え方をもう一度よく考えましょう。　ただ、得られた値がものすごく小さいから間違っているかもしれないと思うのは、どうかなと思います。３０回に１回しか当たらないのに２００回で１２０回（６割！！）も当たるというのは、ちょっと考えられない事態です。　３０回に１回ではなく、３回に１回当たる条件というのが出題者の意図だった（つまり問題は誤植だった）ということなら、いくらか分からなくもないんですが。　まあ、それでも．．．なんですが。

トピ内ID：1621922683

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二項分布

🙂

すもも

2016年07月11日 10:52

シグマ120から200の200Cn×(1/30)^n×(29/30)^(200-n)では？期待値は200×(1/30)=6.6回なのだから、確率はほぼ0で不思議ではありません。手元に計算機がないので計算できませんが、マイナス87乗より小さいです。分散n(p)(1-p)=5.33で5以上なら正規分布によく近似し、(120-6.6)/ルート5.33 は50SDぐらいいくから、ほぼ0ですね。 15年前、確率を勉強したけど、おかげで久しぶりに思い出せました。違うかしら？

トピ内ID：2425129121

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桁違いじゃありませんか？

🙂

素人

2016年07月11日 11:55

200回引いて120回当たる確率に間違いありませんか？ N(1/30*200,1/30*200*29/30)でP(X>=120)を計算するのかと思いました。

トピ内ID：3841310182

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簡単に考えてみる

💢

にょけんのつじまる

2016年07月11日 12:59

一回の当たる確率は　1/30 これが120回当たる確率は、(1/30)^120 なんと　10の-178乗になります。 200回のうち　という制限付けると、もっと低くなるんじゃないでしょうか。 10の-87乗では確率が良すぎる気がします。

トピ内ID：7955829642

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確率はもっと低いのでは？

♨

rere

2016年07月11日 12:59

こういうのを二項分布というのでしょうか。式は ■(n=120...200) (1/30)^n × (29/30)^(200-n) × 200 c n なのですが、(29/30)^(200-n) が必要と思います。 6のマイナス122乗ぐらいになっちゃいますね。確率1/30の事象が200回中120回以上発生するのは奇跡ですね。

トピ内ID：3838681498

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反復試行の確率の式が間違ってます。

元塾関係者

2016年07月11日 15:29

確率で重要なのは２００回試行するなら、２００回確率をかけること。条件を簡単にして考えます。 1/30の確率で当たるくじを４回行って１回当たる確率は「１回当たる確率」でなく、「１回当たり３回外れる確率」を求めるのです。１回当たるのが1/30、３回外れるのが(29/30)^3で、４回のうち何回目に当たりが入るかが4C1で表されます。よってこのときの式は4C1*(1/30)*(29/30)^3で求められます。ですから、200回中n回当たる確率は「n回当たって(200-n)回外れる確率」で 200Cn*(1/30)^n*(29/30)^(200-n)で表されます。問題では当たりが120～200回となる場合を求めるのでシグマ(n=120～200){200Cn*(1/30)^n*(29/30)^(200-n)｝が正しい式。計算は任せます。

トピ内ID：9352000257

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29/30の項はどこへ？

🙂

ないしょ

2016年07月11日 15:29

n=200でしたら1/30の項だけで良いか（■は■と見ましたが・・・）と思いますが、n<200では(29/30)^(200-n)の項が出てきませんか？確認の計算をしてみると、■(1/30)^n*(29/30)^(200-n)*C(200,n) n=0 to 200 = 1となるので全事象の和になっているかと思います。ちなみに■(1/30)^n*C(200,n) n=0 to 200 = 704.8...となります。で、n = 120 to 200で(29/30)^(200-n)の項を入れて計算すると6.228...X10^-122となるのでもっと確率は低いのかも・・・。ちなみにこれは何の問題なんですか？

トピ内ID：0171775192

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ほぼ0で正解

🙂

kimenzan

2016年07月11日 16:40

200回中n回当たる確率は(1/30)^n(29/30)^{200-n}の{}_{200}C_{n}倍ですから、トピ主さんの計算式では200-n回外れる確率が抜けています。 200回も試行すると確率はnの期待値およそ6.7の近傍に集中してしまうので、nが120以上になる確率はほぼ0です。視聴率の原理と同じ。 n回当たる確率とn回以上当たる確率は以下の通り n n回当たる確率 ------------------- 4 0.104 5 0.140 6 0.157 7 0.150 8 0.125 9 0.092 10 0.061 15 0.002 20 1.036X10^{-5} 50 3.911X10^{-29} 100 5.921X10^{-91} n n回以上あたる確率 -------------------- 10 0.134 50 4.352X10^{-29} 100 6.131X10^{-91} 120 6.228X10^{-122} 150 2.278X10^{-175} nが120以上というのは殆ど起こらないということです。

トピ内ID：9284375382

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文字化けしてますね

🐶

ken トピ主

2016年07月11日 16:40

とぴ主です。式の最初の文字が化けてますがシグマです。

トピ内ID：7632501196

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惜しい

🙂

カノン

2016年07月12日 10:33

大体、合ってますよ。ただ一項の洩れを別にすれば・・・。主さんの書き方にならえば、 ■(n=120,200)(1/30)∧n×(29/30)∧(200-n)×(200とnのコンビネーション) です。具体的な計算結果は、勘弁してください。

トピ内ID：7304306378

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ものすごく小さい確率です

🙂

imachi

2016年07月12日 11:02

成功確率1/30のベルヌーイ試行を200回独立に繰り返して、120回以上成功する確率という事ですよね？成功回数は期待値が20/3で分散が58/9の正規分布にほぼ従うので、標準正規分布に従う確率変数がZ=(120-(20/3))/(58/9)^(1/2)=44.6以上を取る確率となり、概算では10^(-435)程度となります。

トピ内ID：8722754386

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いや、もっと低いのでは

おじさんですが

2016年07月12日 12:05

くじの当たり確率が毎回1/30ならば、200回引いた時の当たり回数の期待値は 200×(1/30)＝6.67になります。平均7回未満です。ですから120回以上当たりを引く確率は0ではないが極端に小さな値だと思います。 n回当たりを引く確率は a C b を「a個のものからb個を選ぶ組み合わせ数」として (1/30)^n × (200 C n) ではなくて (1/30)^n × (29/30)^(200-n) × (200 C n) になります。 n＝120の時の値を計算したら10のマイナス百乗よりも小さくなってしまいました。 n＝121～200の時はこの値よりもさらに小さいのですから、それらを総計してもやはりその程度だと思います。

トピ内ID：8023285824

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ものすごく低いのは間違いなし

Smartweed

2016年07月12日 15:57

式の一番最初の文字が黒い四角に化けているのですが、シグマでしょうか。シグマだとして、シグマの中の式が少し間違っています。正しくは (1/30)^n × (29/30)^(200-n) × (200 C n) です。この式だとトピ主さんの計算より更に小さい値になりますね。試しに 0回当たり(つまり全部はずれ)から、13回あたりまでの確立を求めてみると、6回あたりの確立が一番高くて約0.157、13回までの累積で 0.99を超えます。つまり、200回引いて119回以下当たる確率はほとんど 1ですから、その逆の120回以上当たる確率はほとんど 0です。10^-120 より小さいのではないでしょうか。

トピ内ID：9350164123

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教えていただきありがとうございます。

🐶

ken トピ主

2016年07月14日 16:20

トピ主のkenです。多くの丁寧なレスをありがとうございました。残り80回分が当たっていないことを加味しないといけない点理解いたしました。また最初の計算値も計算間違いがありお恥ずかしい限りです。「二項分布」遠い昔の記憶が少しだけよみがえりました。 > つまり問題は誤植だった　（電気技術者） >ちなみにこれは何の問題なんですか？ (ないしょさん) ですが、私はコンピュータのシステム開発をやっていまして 3秒間にランダムに最大200個のイベントが発生しイベント当たりの処理時間が0.1秒以下、同時処理可能数120イベントのシステムでエラーが発生する確率(=0.1秒間に120イベント以上集中) がどの程度かを考えていた時の疑問でした。上記内容のくじびきへの置き換え方が妥当かという問題は残りますが実際にはありえない程度の値であることが確認出来て助かりました。

トピ内ID：7632501196

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それはポアソン分布の方が良いかも？

🙂

ないしょ

2016年07月16日 09:57

なるほど、問題がわかりました。ただその場合、最初のくじの例えが適切でないように思います。ポアソン分布を使うのが良いような気がします。細かい条件がわからないので返信にあった条件だけを考慮して、めちゃくちゃ単純化して考えますが、3秒間にランダムに最大200個のイベントが発生とのことですが、3秒間で常に200個のイベントが発生する場合を考えます。するとイベントの発生確率は0.1秒当たり200/30回、この場合、0.1秒間に121イベント以上（120イベントは処理できるんですよね？）起こる確率はどうかと考えれば(200/30)^121 * exp(-200/30)/121!となる・・・のではないでしょうか？これをイベント発生数を121から200まで足し合わせると8.20x10^-105くらいと出ましたので工学的な解釈は変わらないようですけど（＝ほぼありえない）。確率は苦手なので、ボロが出る前にこれくらいで退散します。

トピ内ID：0171775192

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余計なお世話ですが

🙂

心配性

2016年07月16日 10:31

私の計算では10^(-103)程度になりました。ただし、ランダムであることが大前提です。 7月13日 12:06のトピ主さんのレスで、 > 3秒間にランダムに最大200個とあるのが気にかかります。これが単なるシステム設計の前提なら良いのですが、ふと、「親システムにはランダムにイベントが投入される。ランダムなので最大数は分からない。そこで、（トピ主さん担当の）子システムには3秒間に最大200個までしかイベントを渡さないように親システムが制御する。子システムは0.1秒以内に処理して親システムに返す」という内容を、ざっくりまとめて「3秒間にランダムに最大200個」と表現しているように思えてきました。もしそうだとすると話は大きく変わってきます。

トピ内ID：0018526828

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