かけざんの交換法則２×３＝３×２って証明が必要なことですよね？おともだちに「あたりまえじゃん」といわれたのですが、あたりまえでしょうか？数学のできるつもりの夫にきいたら「そもそも自然数というのはピアノの定理で…」というはなしがはじまって「じゃあ証明がいるんだよね？」ってきいたら「厳密にはいるけど、小学校の証明はまちがい」っていうんですがその根拠をただしても「ピアノの公理」になっちゃうんです。ピアノの公理と小学校の算数はどういう関係なの？ってきいてもにえきれないことを答えるばかりで、とうとう喧嘩になってしまいました（泣）。夫は理系で◯大工学部卒。数学が得意なつもりでいるようですがこのあいだ大学時代の成績表をみせてもらったらＣでした。なのでわかったつもりでいるだけじゃないかとうたがってます。よろしくお願いします。

交換法則ってなんですか？ | 生活・身近な話題

ピアノの公理ってなに？

😀

算数嫌い

2017年05月29日 18:45

なんだかわからん！ 2×3と3×2は違うと、指導者に叱られました。（例）まんじゅう2個入りの袋が3袋がありました。まんじゅうは幾つでしょう。 2×3…まんじゅう2個入の袋が3袋 3×2…まんじゅう3袋のまとまりが2つと言う意味だから不正解なんだそうで。どこから「3袋のまとまり」が出てくるんだ、数字は2と3しかないのにと混乱。日本の教科書会社の算数的には一つ分の数×いくつぶん＝全部の数（まとまりの数）の式の順序なんですって。意味わかんない…だから嫌いなのよね～算数。

トピ内ID：3231328143

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ペアノの公理です

🙂

kimenzan

2017年05月29日 20:48

ペアノの公理は自然数とはどんなものかを定めたものです。で、公理とは何かというと、数学におけるルールを定めたものです。この場合ルールは矛盾なく定められておればよく、したがって例えばペアノの公理と両立しない別の公理を定めても構いません。要はどんな公理を採用するかを決めて、その公理から論理的にどんな定理が導かれるかを研究するのが数学という学問です。その点、どんな基本法則が成り立っているかを実験によって確認する必要のある他の自然科学とは異なります。ペアノの公理が唯一の選択ではないけど、ペアノの公理と同等な自然数の体系を含めた公理系であるZF公理系もしくはそれに選択公理というのを含めたZFC公理系というのが現代数学では採用されています。なお、ペアノの公理から導かれる定理の方を公理として採用するとペアノの公理のほうが定理となります。で、ペアノの公理だけでは自然数の足し算の交換則は導けません。まず足し算を定義してやらないと。しかし、ご主人は説明するのが面倒くさいだけだと思います。現に私も定理と公理の説明だけで文字数が一杯になってしまった。

トピ内ID：0326041351

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小学生に教えるのは反対(面倒くさい)

🙂

kimenzan

2017年05月29日 22:12

ペアノの公理より数学的帰納法は正しい（^の後は上付き文字) (補題)0でない任意の自然数nに対してφの合成写像φ^nが一意的に存在して次が成り立つ。 n = φ^n(0) (証明)数学的帰納法を使うためにこれを「任意の自然数nに対してφ(n)で定まるφの合成写像φ^{φ(n)}が一意的に存在してφ(n) = φ^{φ(n)}(0)が成り立つ」と書き換える。n = 0のとき φ(0) = φ^{φ(n)}(0) = φ(0) よりφ(φ(0))=φである。n∈Nに対して φ(n)=φ^{φ(n)}(0) と仮定すると、 φ(φ(n))=φ(φ(n)^{φ(n)}(0)) であり、φ^{φ(φ(n))} = φ・φ^{φ(n)}となることがわかる。したがって数学的帰納法により証明された。 φ^0を恒等写像N→Nと定義すると任意の自然数nに対してn=n(0)と考えることができる。 (定理) 任意の自然数a,b∈Nに対して、それらの加法を a + b ■ φ^a・φ^b(0) により定義すると任意の二元a,b∈Nについて、a+b=b+a (証明)上記合成写像の定義より。

トピ内ID：0326041351

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多分ですが

数学ネコ

2017年05月29日 23:30

交換法則が成り立たないとしたら掛け算の単位元だある１をかけても元の数にならないとか１は１ではないとか言うおかしな結果になるので交換法則が成り立たないとしたことが間違いであり、すなわち交換法則が成り立たつということが証明されると思いますよ。

トピ内ID：9635627975

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大学できちんと勉強してください。

🐤

まー

2017年05月30日 11:16

小学校から高校まで，数の厳密な定義と証明をせずに，経験的に成立することを理解して算数，数学，理科，物理等を勉強します。ペアノの公理の厳密な内容は，きちんとした数学の素地がないと理解できません。この場所で聞くべき内容ではありません。知りたければ，インターネットでいくらでも検索できます。検索して読んでみましたか？もしそれが理解できないのであれば，ここでいくら聞いても，無理です。浅田真央さんの４回転ジャンプをすごいなーとテレビで見るのと，実際にやるのとの違いみたいなものです。ピカソの絵に感動しますが，同じような絵を描くには，血のにじむような努力を長い年月継続する必要があります。数学についても同じような基礎を積み重ねていく必要があります。ぜひ，大学の数学科に合格してから勉強してください。そもそも，掛け算の交換法則の証明が分からないとおっしゃっていますが，足し算の交換法則の証明は分かるのでしょうか。そのあたりがあいまいなようですから，こんなところで聞かずに，大学の数学科に合格してから自分で勉強してください。

トピ内ID：4410814577

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公理とは

🐴

かっちゃん

2017年05月30日 13:34

数学では、いくつかの公理を置いて公理から演繹して定理を証明します。公理は所与のもので証明する対象ではありません。掛け算、足し算の交換則は公理なので、証明は不要です。なお、ピアノ云々は聞いたことがありません。

トピ内ID：2205219831

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工学部では・・・

🐱

緑鍵盤

2017年05月30日 12:54

よっぽど真面目な学生でない限りペアノの公理や自然数の基本的な定理（交換法則とか）についてしっかり説明・証明できないでしょうね。（ピアノではなくてペアノです）ペアノの公理は、自然数とはどんなものかを定義づけているのですが、簡単にいえば、・１は自然数・自然数の次の数も自然数・ある自然数の次の数と、別の自然数の次の数は同じではない・自然数の世界では数学的帰納法が成立するってことを定式化しています。さらに、自然数の加法が定義されていて・自然数に１を足すとその自然数の次の数になる。・自然数Ａに１以外の自然数Ｂを加えるとは、その加える自然数Ｂを次の数とする自然数ＣをＡに加えてさらに１を加えることである。ということが、定式化されています。このペアノの公理と加法の定義を使えば交換法則は証明できますが最低「数学の得意な高校生」くらいでないと理解できないでしょう。小学生の算数の問題で、・次の三角形と同じものを選びなさいといった問題で三角形の合同条件を用いず「これとこれが同じ！」で済ましているのと同じで、教育的には妥当です。

トピ内ID：3400551888

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追伸・・

🐱

緑鍵盤

2017年05月30日 13:34

ちなみに、「小学校での証明」ってのがどんなものか知らないけど、証明だとするなら「まぁ、正直いって、児童・生徒をケムに巻いたウサンクサイもの」でしょう。だって、証明に必要な道具が与えられていないんですから。（三角形でいえば、合同条件とか）実際に教科書に書いてあるのは、証明ではなくて「交換法則の説明」でしょう。説明なら、厳密性は欠けても気持ちに訴えかけ理解を促すモノになってるでしょうから、それは「間違い」ではなく、「厳密ではない」という風に表現すべきです。－－高校生では極限ってのを習いますが、Ｘが１に近づくとき、Ｘ＋１が２に近づくこと、式で書けば Lim(X→1)｛Ｘ＋１｝＝２を高校数学の範囲では証明できません。だって、証明に必要な道具（実数の定義や実数の加法の定義、実数の連続性の公理など）を与えていないからね。それでも大学の入試では平気で、極限の問題を解いていますよね。交換法則の証明は、それともおんなじなんです。

トピ内ID：3400551888

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数学は得意じゃないけど・・・

暇男

2017年05月30日 13:34

２×３＝３×２これに証明はいらないような気がします。２も３も自然数（ペアノの公理）公理は証明がいらず事実として使える事柄だから証明不要。２×３＝６（積の定義）３×２＝６（積の定義）定義はルール、決め事であるから証明の対象外。それらしく書くことができるというだけで証明という程ではない。問題はａ×ｂ＝ｂ×ａこれは証明が必要だと思います。ａ、ｂがペアノが定義した自然数だと条件付けされていれば、数学的帰納法で証明すればいい。ａやｂが行列やベクトルを表している場合は積の交換法則は成り立ちません。ただ小学校には「習ったことしか使ってはいけない」というルールがあるので、数学的帰納法による証明は正しい。彼氏は小学校ルールを無視して、小学校の交換法則は間違っていると言っている。ただ彼が証明の要不要を濁すのは、ａやｂは、実社会において行列であったりベクトルの外積である可能性は殆ど無く、改めてトピ主が証明したところで、実社会では役に立たないのだから、殊更目くじらを立てる必要は無いと言っているのだと思いますよ。

トピ内ID：9838163697

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証明のあらすじ

🐱

緑鍵盤

2017年05月30日 14:04

ペアノで定式化する次の数を指定する後継関数をＳ（ｎ）とします。このとき加法の定義は、ｍ＋１＝ｓ（ｍ）ｍ＋ｓ（ｎ）＝ｓ（ｍ＋ｎ）です。また乗法の定義は、ｍ＊１＝ｍｍ＊ｓ（ｎ）＝ｍ＊ｎ＋ｎです。乗法の交換法則の証明のあらすじは、ｍ＋１＝１＋ｍ　であることを数学的帰納法で証明する。　　（＊１）・・ここだけ下に記載。他は略。次にそれを用いてｍ＋ｎ＝ｎ＋ｍ　であることを数学的帰納法で証明する。次にｍ＊１＝１＊ｍ　であることは乗法の定義から明らかなんだけどｍ＊ｎ＝ｎ＊ｍ　であることは上記の証明済みの事項と数学的帰納法で証明する。（＊１）だけ示すと、ｍ＝１のときは明らか。ｍで与式が成立すると仮定してｓ（ｍ）＋１＝ｓ（ｓ（ｍ））　＜加法の定義＞＝ｓ（ｍ＋１）　　＜加法の定義＞＝ｓ（１＋ｍ）　　＜帰納法の仮定＞＝１＋ｓ（ｍ）　　＜加法の定義＞となり、数学的帰納法に従い、任意の自然数について与式（ｍ＋１＝１＋ｍ）が成り立つ。以下、数学の得意な高校生なら乗法の交換法則の証明ができます。

トピ内ID：3400551888

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数学は「あたりまえ」なことも証明する

チュン夫

2017年05月30日 15:23

2×3　は　2＋2＋2 3×2　は　3＋3 これが、なぜ等しくなるのかは、証明が必要ですよね。（交換法則って、中学校で習ったように思いますが、証明は忘れました）でも、九九を暗記した時点で、2×3＝3×2　4×5＝5×4　6×3＝3×6　って、あたりまえに気がつきます。だから、お友達は「あたりまえ」と言ったのでしょう。数学という学問で扱うには証明が必要です。でも、実用としては、「あたりまえ」（経験値で正しい）と言うのでも良いのではないでしょうか。数学では、先に経験値（あたりまえ）があってから、その証明がされる場合もあります。古代の人も、三角形の3辺の比率を3：4：5で作れば、直角が作れると知っていたようです。これを数学で証明したのがピタゴラスの定義ですよね。奇数×奇数＝奇数　偶数×偶数＝偶数　奇数×偶数＝偶数　も、九九をそらんじれば、そうなっていることが自然とわかります。でも、これの証明も中学校で習いました。逆に言うと、「あたりまえ」なことをキチンと証明したり定義するのが、数学の始まりだと思います。

トピ内ID：8138701032

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そうですよね！

🐤

piyoko トピ主

2017年05月30日 21:28

算数キライさんちょっとまちがってますよ～。直しました。（例）まんじゅう2個入りの袋が3袋がありました。まんじゅうは幾つでしょう。 2×3…まんじゅう2個入の袋が3袋 3×2…まんじゅう3個入の袋が2つなので意味はちがいますよね。　2×3…まんじゅう2個入の袋が3袋　なので　おまんじゅうの数は　2×3=2+2+2 　3×2…まんじゅう3個入の袋が2つ　なので　おまんじゅうの数は　3×2＝3+3 なので　2×3=3×2 は証明しなくちゃだめなことですよね？なので、おまんじゅうを長方形にならべて比べて証明します。これでいいんじゃないの？ピアノの定理なんて使ってないです。

トピ内ID：2059647772

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あたり前だし証明も試みてみました

🙂

考えてみました

2017年05月30日 21:28

1.「あたり前」の説明 ●の個数を数えます。 ●●● ●●● (1)縦に2個の3倍と見て 2個×3 = 6個。 (2)横に3個の2倍と見て 3個×2 = 6個。 (3)どちらで計算しても、事実は6個で同じ。 2.証明自然数の掛け算の交換法則の証明を試みます。掛け算の分配法則と足し算の交換法則は前提とする。 (1) n, m までの任意の自然数について n × m = m × n が成立すると仮定すると・(n + 1) × m = n × m + m = m × n + m = m × (n + 1) ・ n × (m + 1) = n × m + n = m × n + n = (m + 1) × n ・(n + 1) × (m + 1)= n × m + n + m + 1 = m × n + m + n + 1 =( m + 1) × (n + 1) 上記の通り、 n + 1, m + 1までについても成立。 (2)n,m が0の時、　0 × 0 = 0 × 0 (=0)は自明に成立。 (3)数学的帰納法により証明された。 ※文献は確認してませんので間違いはあるかも

トピ内ID：9543151758

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小学生の時に習ったのは

🙂

はろるど

2017年05月30日 23:37

・・・・・・・・・・・・・・・・・・上の点を縦列で括れば3個の点が6列で3×6 横列で括れば6個の点が3列で6×3 答えはどちらも18ですね。なので、3×6=6×3=18 と小学生の時には習った気がします。小学生向けにはこの程度の説明で良いかと思いますが？

トピ内ID：9795051156

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既に証明されている事

ノアの箱舟

2017年05月31日 12:31

2×3＝3×2が、ある条件下では成立している事は既に証明済み。地球が球体であることは証明済み。通常の生活の中で地球が球体であることをいちいち証明する必要がありますか？証明して見せてと言われたら、超絶面倒臭いヤツと思いませんか？知的興味を持って証明していく事は悪いことじゃない。でも、一般的な生活において、証明が必要かと問われれば必要ない事がほとんど。彼氏は2×3じゃなくて、ａ×ｂ＝ｂ×ａをイメージしたのでしょう。ペアノの公理は超簡単に言えば自然数の定義。 aｂが自然数なら掛け算の交換法則は成立することが証明されている。でもaｂが自然数以外も含むなら、成立しない場合が存在することも証明されている。これをあなたに証明して見せるのは超絶メンドいから彼は言葉を濁すのだと思います。犬が桃太朗にキビ団子3個入りを２袋という報酬で契約。鬼ヶ島で活躍したんでボーナス要求。桃太朗がじゃあ一袋増やそうということで、２個入りを３袋にしてあげた。犬は一袋増えたので大喜び・・・なんて騙されないように知識として知っておけば良い事は沢山あります。

トピ内ID：7509672856

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チュン夫さんのレス、すごい！！！

🐤

木鶏

2017年05月31日 15:58

＞数学は「あたりまえ」なことも証明する　2017年5月29日14:42 すばらしいレスですね～！！わたしもそういうことだと思います！感動したので大事な部分をコピペして私なりに再構成（と加筆）しました。 ------------------------------------------- 　数学では、先に経験値（あたりまえ）があってから、その証明がされる場合もあります。　　2×3　は　2＋2＋2 　　3×2　は　3＋3 　これが、なぜ等しくなるのかは、証明が必要ですよね。　奇数×奇数＝奇数　偶数×偶数＝偶数　奇数×偶数＝偶数　も、九九をそらんじれば、　そうなっていることが自然とわかります。でも、これの証明も中学校で習いました。　逆に言うと、「あたりまえ」なことをキチンと証明したり定義するのが、数学の始まりだと思います。　そして算数には数学の始まりの考え方がふくまれています。 ------------------------------------------- なので、ペアノの公理でとしか説明できないひとは「数学がわかっていない」と思います！！

トピ内ID：1188236777

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思い出した

🙂

はらぺこあおへび

2017年06月01日 11:35

小学校の頃、これがどうしても理解出来ませんでしたまんじゅう２個入りの袋が３つあります　　　２x３まんじゅうの袋が３つあり、それぞれに２つずつ入ってます　　３x２どうして袋が先にしてはいけないのか、小学校の時にどうしても理解出来なかったのを思い出しました

トピ内ID：6655667986

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ノアの箱舟さん

😒

ムー

2017年06月01日 17:31

2×3＝3×2が、ある条件下では成立している事は既に証明済み。地球が球体であることは証明済み。通常の生活の中で地球が球体であることをいちいち証明する必要がありますか？証明して見せてと言われたら、超絶面倒臭いヤツと思いませんか？彼氏は2×3じゃなくて、ａ×ｂ＝ｂ×ａをイメージしたのでしょう。ペアノの公理は超簡単に言えば自然数の定義。 aｂが自然数なら掛け算の交換法則は成立することが証明されている。でもaｂが自然数以外も含むなら、成立しない場合が存在することも証明されている。わたしはこんな言い方でおしまいにする人がいたら，超絶つまんないヤツ，実は何もわかってないくせに証明済みですましてお高くとまっているだけのヤツ，と思いませんか？と思いました。

トピ内ID：9533932166

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追加レスを見て

ギムタク

2017年06月01日 17:31

何か勘違いしていませんか？小学校で教えるのは表す状態が違うので書く順番にも気をつけましょうということなのでは？どうしても証明っぽくしたければ、２×３＝３×２の左辺と右辺がイコールでないならば、と想定すればいいんじゃないですかね？イコールでないとするならば、左辺の２か３右辺の２か３に違いがなければならない。左辺の２と右辺の２が違うのであれば、左辺と右辺とで別のルールで表記されていることになるので、どちらかを統一ルールに書き直す必要がある。設問中にそのような記載はないので左辺の２も右辺の２も同じ２。３についても同様。従ってイコールでない場合は存在せず、２×３＝３×２は成立する。別の言い方をすれば２×３＝６、３×２＝６トピ主さんは６＝６の証明を要求しています。６が６でない場合は存在しない。よって６＝６は成立。当たり前と言われても仕方がない。２と３をどんな数字に入れ替えても交換法則が成立するかは証明がいるでしょうけどね。つまりａ×ｂ＝ｂ×ａの証明。「どんな数字」というのがクセ者でね。数３レベルのａｂが登場すると関わりたくなくなる（笑

トピ内ID：2316285315

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ブフォッ！

マグマ大使

2017年06月01日 20:13

コーヒー吹いちゃったじゃないか！キーボード壊れたら弁償してよね（笑＞なので、おまんじゅうを長方形にならべて比べて証明しますじゃじゃじゃああ、饅頭工場でも証明してくれる？饅頭24個入り１００万箱。饅頭100万個入っている倉庫24棟。饅頭がどちらも2400万個あることを長方形に並べて証明してよ（笑あのね。とぴ主が言っていることは証明じゃなくて、乗法の定義。ルール。並べてみるというのはルールの確認に過ぎず、証明じゃない。他の人が既に指摘済みですが、ルールは証明の対象じゃありません。彼氏にめちゃくちゃ同情中。トピ主さんの発言は小学生レベル。 2とか3を何に置き換えても交換法則が成り立つか？というのが学問。証明が必要になってきます。ところがトピ主さんは、1,2,3・・・と数えられる自然数のみを対象にしている。自然数はペアノの公理で定義される、数字の中のほんの一部。彼はそれじゃ証明にならないよーと言ってはいるのだが、トピ主さんの数学力は小学生レベルなので、いっつもペアノの公理のところで諦めざるを得ないのでしょう。

トピ内ID：2884761378

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チュン夫さんと木鶏さん

🛳

南国の数学者

2017年06月02日 11:10

の書いている事に完全同意。どなたか書いているように「証明されている」ですますのもありですがなんだかつまらない人生になりそうです。数学の内容についてはトピ主さんのレスにあるとおりです。ペアノの公理など持ち出す必要はないです。仮にどうしても持ち出さないと気の済まないひとだとしてもそれがトピ主さんや他の何人かが書いているような算数の説明とどう関係するのかをていねいに説明できないようなひとはやっぱり分かってないです。算数や数学はどこまでもやさしく説明できる学問です。

トピ内ID：6329174277

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もういっこ

🛳

南国の数学者

2017年06月02日 11:10

つけたしておくと　こういうはなしで教育上とか小学生にはとかそういうのを理由にする事はまちがいです。教え方のはなしをしているのではないです。また教え方についてコメントするためには自分がよくわかってないと資格がないです。ペアノの公理を持ち出すしかできないひとはその例に入ります。失礼ながらトピ主さんのご主人もその例に入ります。

トピ内ID：6329174277

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横レスすると

🛳

南国の数学者

2017年06月02日 10:12

緑鍵盤さんのかいていることはだいたいあってますけど＞ｍ＊１＝１＊ｍ　であることは乗法の定義から明らかなんだけど　ｍ＊ｎ＝ｎ＊ｍ　であることは上記の証明済みの事項と数学的帰納法で証明する。はだめです。　ｍ＊１＝１＊ｍ　であることは乗法の定義から明らかではないです。これだって数学的帰納法が要りますよ。

トピ内ID：6329174277

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確認ですけど

🐤

piyoko トピ主

2017年06月02日 13:02

＞小学生向けにはこの程度の説明で良いかと思いますが？そういうことを聞いてはいないんです～。念のためですが。算数の教科書の説明は証明になっているとわたしは思います。でも夫はまちがいというんです（泣）実は大学の数学ではおちこぼれていたようなんですけど（笑）。なんでピアノの公理（定理？）を持ち出す必要があるんですか？またピアノの公理を持ち出さないと厳密な証明にならないのですか？それはなんでですか？そういうことを聞いています。ピアノ（ペアノ？）の定理をいっしょうけんめい説明してくださった方には申し訳ないのですが、足し算とかけ算とは何か（同じ数を何回かたして得られる数をあらわす）ってことは証明しなくてもいいです。だって、あることを証明するのにはじめからぜんぶ証明しなくちゃいけないなんてことはないでしょ？ちがうの？なので、お答え下さるなら、ピアノ（ペアノ？）の定理が「かけざんの交換法則」の証明のどこでピンポイントで必要なのかを教えてほしいです。夫もここが答えられません。おうむみたいに「厳密じゃない」を繰り返すばっかりです。

トピ内ID：2059647772

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何か変だぞ

数学好き

2017年06月02日 13:02

交換法則は自然数だけでなく負数、無理数でもなり立つのでペアノとか数学的帰納法で証明することは無理だと思うのですが。どなたかのレスのように背理法で証明するしかないので背理法で証明するしかないのではないのではないのでしょうか？もしかしたら虚数の掛け算についても背理法で証明するしかないかと思うのですが。

トピ内ID：9635627975

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喧嘩しないで

だから

2017年06月03日 10:59

数学的には証明すべき事でしょうね。しかし普通の人は「あたりまえ」として証明なしで使うし、別にそれでかまわない。そんなに気になるならば自分でパソコンを使って調べれば、旦那さんに尋ねるよりもよっぽど納得できますよ？

トピ内ID：6851238223

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ムーさん！紛らわしいですよ

ノアの箱舟

2017年06月03日 19:24

私の文章を引用するなら、引用部分に＞を付けて下さいね。あなたが面倒と思わないならそれはそれでで構いません。どうぞ懇切丁寧に教えてあげて下さいね。私は2×3＝3×2の証明はいらなと思っているし、証明したいことがａ×ｂ＝ｂ×ａであったとしても、ペアノの公理をピアノの公理と聞き違って、調べもしない程度の数学知識の人に数3レベルの知識が必要な証明問題を説明する気力はありません。トピ主の彼氏も、彼女だからこそ多少の相手をして、実は難しい証明なんだよと伝えようとして失敗したか、途中で諦めたんだと思います。まさか2×3＝3×2だけの話をしているとは思いませんからね。実際、交換法則の説明をしてくれている皆さんはａ×ｂ＝ｂ×ａの証明が必要なんだろうと誤解しちゃいましたから。自分から小難しい話を聞いておいて、答えないから無知とかつまんないヤツと思う人がいたら、大変失礼な人だとは思いませんか？と思いました。

トピ内ID：5999186638

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証明することと定義することの違い

ゴーマニヒリズム

2017年06月03日 16:04

＞2×3　は　2＋2＋2 ＞3×2　は　3＋3 ＞これが、なぜ等しくなるのかは、証明が必要私は証明すべき問題ではないと思いますよ。必要なのは証明ではなく定義（ルール）の説明です。 2の定義、3の定義、×（掛け算）の定義、＋（足し算）の定義ルールの説明が疎かだから、なぜそうなるの？という疑問が発生してしまっているだけです。エジソンが子供の頃、1+1＝1と答えました。（正確には大きな1）粘土1つと、もう1つの粘土を足すと、大きな粘土が1つできるじゃないかというのが彼の主張です。一休さんか！と最初は思いました。登場する3つの1が、同じ状態じゃなきゃだめという説明がされていないせいです。 100ｇの粘土も1、200ｇの粘土も1にしてしまうと、1+1＝1の3つの1の中身を説明しなきゃいけない。だから1と1は同じ状態というルールが必要になる。そして掛け算のルールは3×2なら、3を２回足せ。つまり3×2は3+3というルール。ルールや定義は証明できない。だってそう決めたんだから。なぜそのルールになったのかを知ることは面白いけど、証明じゃない。

トピ内ID：5459823412

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ギムタクさんの説明が正しい

❤

まんぷくへび

2017年06月03日 16:04

としたら２÷３＝３÷２の左辺と右辺がイコールでないならば、と想定すればいいんじゃないですかね？イコールでないとするならば、左辺の２か３右辺の２か３に違いがなければならない。左辺の２と右辺の２が違うのであれば、左辺と右辺とで別のルールで表記されていることになるので、どちらかを統一ルールに書き直す必要がある。設問中にそのような記載はないので左辺の２も右辺の２も同じ２。３についても同様。従ってイコールでない場合は存在せず、２÷３＝３÷２は成立する。別の言い方をすれば２÷３＝0.666.....、３÷２＝1.5 トピ主さんは0.66......＝1.5の証明を要求しています。0.66......が1.5でない場合は存在しない。よって0.66......＝1.5は成立。なにかヘンと言われても仕方がない。ということですよね！よくわかります。

トピ内ID：3403455629

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ブフォッ！その２

😨

ナグモ太子

2017年06月03日 16:33

ごめんなさい。マグマ大使さんに続いてわたしもコーヒー吹いちゃいました！あのね。一般の法則を帰納的に説明するって知ってますか？あとね。定義とルールはちがうしまあそれは同じとしても並べてみるというのはルールの確認に過ぎず、証明じゃない。なんてことはなく並べてみるというのはルールじゃないし、立派な帰納的な説明（証明）ですよ。こんなこともわからずにトピ主さんの発言を小学生以下というのにコーヒーを吹いちゃいました！

トピ内ID：9761397074

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交換法則ってなんですか？

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