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数学の得意な人おしえてください☆

レス19
（トピ主 0 ）
041
ポップ
話題
先日とてもおもしろい本と出合いました。すべてがFになる　という本で、殺人事件のはなしなのですが、計算もよくでてきて、その中に、 「　1　から　10　までの数字を二組に分けてごらんなさい。そして、両方とも、グループの数字を全部掛け合わせるの。二つの積が等しくなることがありますか？」　 「ありません」萌絵は即答した。 「片方のグループには　7　がありますから、積は　7　の倍数になりますけど、もう片方には　7　がないから、等しくはなりません」 「ほら　7　だけが孤独でしょう」 という文章がでてきました。 全然理解できなくて困ってます。 どなたか、詳しくこの計算式を教えてくれませんか？・；・お願いします。

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公約数、公倍数

041
けけけ
例えば A = 1*2*3*4*5*6 と B = 7*8*9*10 は違うでしょう？(A ≠ B) Bは７が含まれているので必ず７の倍数。 一方 A は絶対に７の倍数にすることは出来ません。 なぜなら1,2,3,4,5,6,8,9,10 は７の公約数でも公倍数でもないので、どの様に組み合わせても７の倍数を作ることが出来ないからです。

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素因数分解（その１）

041
こかぶ
素数とか素因数分解とかを使うんですが、、、 うまく説明できるかわかりませんが、頑張ります。 まず、１～１０だと多いので、１～３で考えます。 分け方は、 ・｛１｝と｛２、３｝ ・｛１、２｝と｛３｝ ・｛１、３｝と｛２｝ の３通りで、どれも条件を満たしません。 次に、ここに６を加えます。すると、 ・｛１、２、３｝と｛６｝ ・｛１、６｝と｛２、３｝ の２通りの分け方をした場合に、かけ算の結果は いずれも６になり、条件を満たすことになります。 ここで、素因数分解という魔法を使うと、１～３は そのままですが、６＝２×３になります。ので、 上記のグループ分けは、 ・｛１、２、３｝と｛２×３｝ ・｛１、２×３｝と｛２、３｝ と書き直すことができます。 次に、これに４を加えてみます。素因数分解すると ４＝２×２なので、 ・｛１、２、２×３｝と｛２×２、３｝ ・｛１、２×２、３｝と｛２、２×３｝ の２通りの分け方ができますね。 （続きます）

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素因数分解（その２）

041
こかぶ
（続きです） このように、素因数分解した結果の素数を、ちょうど 二つに分けることができれば、かけ算の結果が同じに なる訳です。 さて、前回のに５を加えて、１～６について考えます。 ５は素数なので、それ以上素因数分解できません。 つまり、｛１、２、３、２×２、５、２×３｝を二つに 分けるのですが、５は一個しかないので、うまく分ける ことができません。 ここで、１０を加えると、１０＝２×５なので、５は 二つに分けられるようになります。（今度は２の数が 合わなくなるので、結局駄目ですが。） このように考えると、１～１０の場合、素因数分解すると ｛１、２、３、２×２、５、２×３、７、２×２×２、 　３×３、２×５｝ なので、一個しかない７を二つに分けられなくて駄目な ことがすぐに分かるのです。 （証明終わり）

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因数分解と素数がわかれば・・・

041
匿名おとこ
素数というのは、その数と1以外で割り切れない整数のことです。10までだと1,2,3,5,7ですね。 素数でない数は、素数×素数で表すことができます（※）。 ここで、10までの数の間に倍数がいないのが7だけなのです。 7×2=14＞10 21以上は言うまでもないですね。 つまり、片方の辺に7が来てしまうとその代わりができるものは右辺には存在し得ないということになります。 ちなみに、ちょっとネタバレになりますが16進数だと7は孤独ではありません。Ｅ(=14)がいるから。もしピンときちゃった場合は「7が孤独」の意味がきちんとわかったということで・・・ごめんなさい、ネタバレしちゃいました。 （※）この問題では同じ数字を2回使えない制約があるがそれでも素数に倍数があれば下記のような等式がなりたつ（たとえば左辺に2×3を置いたら右辺に1×6を置けばよい）。 2×3＝1×6 ,2×4＝1×8,2×5＝10×1,2×6＝3×4 3×2＝1×6 ,3×4＝2×6,3×5＝なし ,3×6＝2×9 5×2＝1×10,5×3＝なし ,5×4＝2×10,5×6＝3×10

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BとDも孤独

041
けーず
　「すべてがFになる」ですか。なつかしい。 　数学と言うほどのものでもありませんが。 　1～10の数字を適当に分けた「A」「B」があるとします。 　（A）に「7」が入ると、掛け合わせたものは必ず7の倍数になります。 　しかし、（B）には「7」が入らず、「7」の倍数も含まれないため、掛け合わせたものは絶対に7の倍数にはなりません。つまり、AとBは絶対に同じ数字にはなりません。「7」のせいで。 　他の数字、たとえば「5」なら、「10」があるので、「2」「5」と「10」を別グループにすればバランスがとれます。「9」なら「3」「6」を同グループにして、「9」の側に何かひとつ「2」を約数に含む数字を入れればいいわけです。 　たしか、その話は「BとDも孤独」と続いたと思いますが、16進法の場合、「11（B）」や「13（D）」が同じように孤独な数字になります。逆に、この場合「7」は孤独ではありません。「14（E）」が含まれるからです。

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森博嗣さんですね

041
あすみ
冒頭の四季博士と萌絵の会話ですね！ あのシーン大好きです。 さて式の説明ですが、まず1～10までのうち1,2,3,5,7は素数ですよね。 このうち1は掛け算を行ってもその結果に変化はありません。 なので2グループのどちらに入っても問題はありませんから除外します。 さて残りの素数以外の4,6,8,9,10について考えてみるとこれらは4=2*2,6=2*3,8=2*2*2,9=3*3,10=2*5と素数を掛け合わせたものであることが分かります。 しかしこの組み合わせの中に7は存在しません。 つまり1～10の数字を素数に分解した時、7は一度しか出てこないのです。 これを指して「7だけが孤独でしょう」と言っているのです。 そして素数である7が2グループの片方の計算にしか使えなければ結果が等しくなることはありえない、ということなのです。

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恐らくは・・・

041
数学教師の子
10 = (1×)2×5 9×8 = 3×4×6 ∴1×2×3×4×5×6 = 8×9×10 と考えると，これらの式の中には，1～10のうち7だけが出てきません。「7だけが孤独」とは恐らくそうした意味でしょう。 1～10の間には2，3，5，7と4個の素数（1とそれ自身の他に約数を持たない数）がありますが，7についてのみ，その倍数が10までの数の中に存在しないというのが「ミソ」ということになります。

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説明するのは難しい…

041
森ファン
森さんの「すべてがＦになる」ですね。 森さんのＳＭシリーズはいいですねー。 封印再度とか傑作です。 さてご質問ですが まず１から１０までの数字で素数（１とその数字でしか割れないもの）は２，３，５，７の４つです。 さて、素数を含む掛け算の場合、答えは必ずその素数の倍数になります。（素数が複数ある場合は両方の素数の倍数になります。たとえば２×３＝６、６は２と３、それぞれの倍数です） さらにある素数の倍数はその素数を用いた積でなければ絶対に導き出されません。 で、この場合ですが２，３，５についてはそれぞれ４，６，１０といった倍数が既に含まれており、７だけが倍数を持たない数として存在してます。 よって７を含むグループは必ず７の倍数になりますが、７を含まないグループは７の倍数を作ることは不可能です。 んー上手く説明できませんでしたがわかって頂けたでしょうか？

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理系ミステリ

041
しょこら
S&Mシリーズ私も好きですよ。 よく理系ミステリと分類されますが、たしかに数学苦手な人にはちょっと難しい部分があるかも・・・。 その他にも森ミステリはたくさん出ていますが、このシリーズが一番数学が多いと思います。 解答はすでに書かれているので省略。

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ありがとう。ただ。。。。

041
ポップ
けけけさん！！ありがとうございます。 ただそれはどの数字にも当てはまりませんか？？ どうして7だけが孤独なのでしょう。。 たとえば3が入ってるグループなら3の倍数になるし、どの数字でそれはあてはまります。。 でも7だけが孤独ってゆうのはとても理解できなくて。。 7だろうと、どの数字だろうと一緒だとおもうのですが。。。

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自分の娘に教えるならこんな感じ

041
こもち
こんにちは。 １とその数以外では割り切れない正の整数を素数といいます。 この素数を使って、１から１０までの数をあらわしてみましょう。（１は素数ではないのでそのまま） １、２、３，２×２、５，２×３、７，２×２×２、 ３×３、２×５ この中に７は一度しか出てきませんから、１から１０までの数を２組に分けた時にはどちらか一方にしか入りません。　 次に二つの組に分けた数同士の積を考えてみましょう。 一つの組はある整数×７となり、７の倍数になりますが、もう一組は７という数が含まれないので×７の形にはならず、７の倍数にはなりません。 萌絵さんは、１から１０までの中の素数は２，３，５，７であり、１０までの数の中には７以外に７の数がないことを知っていたので即答したということです。

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意地悪？

041
ごろえもん
「片方のグループには　B　がありますから、積は　B　の倍数になりますけど、もう片方には　B　がないから、等しくはなりません」 「片方のグループには　D　がありますから、積は　D　の倍数になりますけど、もう片方には　D　がないから、等しくはなりません」 「あら　BとD　が孤独ですね」 断り無しに数字を書いたら10進数だというのは当然のルールですが、『すべてがFになる』なので。 ちなみに、この場合、7は孤独じゃないです。

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説明ヘタですが・・

041
k
素数ってご存知ですか？1とその数字以外では割れない数です。たとえば2（1と2以外では割れない）3、5、7、11、13・・・・・・などなど。 1～10までの間の素数は2、3、5、7です。 で、10までの数字に、2と3と5はそれぞれ倍数を持っています。2は4、6、8、10。　3は6、9。　5は10です。 けれど、7だけは、割れる数はないし、倍数（14、21など）も 10までにはありません。 で、二つのグループの積が同じにならないといけないんですよね。 同じ数は、当然、構成する素数も同じです。 倍数があれば、それを別グループに振り分けて、相手にも 7という素数を作ることができます。 けれど、10までの数では、それは不可能です。 7が孤独なのはそういうわけです。 7はひとつしかないから、7という素数は片方のグループしか持てない。 故に積が等しくなる分け方は存在しない・・ということです。・

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なるほど…

041
数字ファン
頭ではわかっていてもどう説明すればよいやら… でＲＯＭっておりました。 森ファンさんの説明が一番わかりやすかったです。 なるほどそういう風に説明すればよかったんですね。 小町は役に立つなぁ…

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では３の倍数で考えてみましょう

041
けけけ
> たとえば3が入ってるグループなら3の倍数になるし、 > どの数字でそれはあてはまります。。 いえ、７の倍数だけが当てはまります。 では３の倍数で考えてみましょう １０個の数字を適当に分けて、例えば次の場合 A=2*3*4*8 B=1*5*6*7*9*10 これらはＡＢどちらも３の倍数です。 なぜならAには３が入り Bには6と9が入るからです。 そう言えばこのシリーズでは数学者の館の話が出てきますが、皆さんはプラネタリウムで最後に出された問題を何分で解けました？私は３分くらいだったかな。

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3の場合は

041
rinko
説明が下手でごめんなさい。 ある方のお話にある3の倍数の例ですと、「３」が入った方は３の倍数になりますよね。もう一方には「３」は入れられませんが、例えば「６」を入れるとそちらは６の倍数かつ３の倍数（さらにかつ2の倍数）になります。 ですから、「３」が入っていないもう一方も３の倍数にする事が可能なのです。もし「３」「６」が同じ方に入っても、もう一方に「９」が入れば、そちらも３の倍数（かつ９の倍数）になりますよね。 「3の倍数」だけで考えれば、こんな感じです。

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孤独の意味

041
空手踊り
積が同じにならない理由は既にたくさんの方が解説していらっしゃるので、私は「孤独」の意味だけ簡単に。 掛け算では約数や倍数を仲間と考えることがあります。 すると 　・２と６ 　・３と６ 　・５と１０ などは全て仲間です。 １から１０までの数字の中には他にも仲間どうしの数はたくさんありますが、７の仲間はいませんね。だから孤独なのです。

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訂正です

041
空手踊り
ああっ、 約数・倍数を考える時についいつもの癖で１を除外して考えてました。 本当は掛け算では１が一番特殊な数です。 １の特殊性を除外すれば、２～１０の中で７だけが一人ぼっちになります。 「孤独」という表現は観念的で、数学での厳密な数字の分類とはちょっとギャップがあるんだねぇ。

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あまりにも

041
通りすがり
激しく横ですが、>匿名おとこさん、>あすみさん 1は素数ではありません。

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