働きながら転職活動できますか？

トピを開いてくださり、有難うございます。
私は20歳で正社員で自動車関係の会社に1年勤務していて、休みは平日です。
今、転職を考えています。理由は2つあります。
1つ目は基本給が5万円以下で、手当が多い給与形態で、（受けた時の求人票には14万からと書いてありました。）ハローワークの方に転職を勧められたからです。給与の支払い方も変わってます。
2つ目は仕事がすごく暇でだからです。
特に毎日しなければいけない仕事がなく、朝のミーティングで店長によく「今日は特になにもないです。」と言われます。
こう言われると1日することがありません。ショールームだし、会社の方針的に仕事中に勉強などは出来ません。なので普段は自分だけボーっとは出来ないので、自分でやることを見つけて、掃除やゴミの整理をして時間を潰しています。それでも２、3時間しか経ちませんが。休みは年間87日で一般企業より少ないのですが、暇なのです。何のために会社に行ってるのかわからなくなります。
以上の理由から転職を考えているのですが、働きながら探す事は出来るのでしょうか？
例えばハローワークで試験を申し込んで相手方が指定された日が仕事を休めない場合などあると思うのですが、それでも見つけられますかね？