海外単身赴任ってことになっているのですが…

トピを開いていただき、ありがとうございます。バツ1(元妻有責)/子供1人/親権元妻な状態で、離婚後は子供の生活圏の関係上、元妻が婚姻時の部屋(賃貸)に住んでます。離婚して1年が経ちます。

タイトルの相談ですが、元妻が付いたウソで面倒に巻き込まれそうです。
離婚手続きを水面下で行ったため身内と一部の旧知の親友、勤務先以外は知らない状況でして、どうやら元妻のママ友の間では(離婚してなくて)私は海外赴任で油田の開拓が終わるまで、滅多に戻らないという設定になっているようです…(運悪く、私と元妻の姓は同じ姓。離婚後も諸々表記が変わりません)

もちろん、私は日本にいて、今は妻たちの生活圏とは大分離れたところに住んでますので、普通に生活している分には、ママ友含め会うこともないでしょう。

今回、旅行がてら妻が子(5歳)を我が家に連れてきた時に子から「アメリカの電車見せて？」的な話をして私が「？？？」となり、元妻に聞いてみてみたところ、嘘が発覚し、散々言い訳をされた後、こともあろうか協力して欲しい…と言ってきました。

…離婚理由したのも、直ぐバレる嘘ばかりついたせいなのに…全く懲りていないようです。子供も混乱するだろうし、ご近所にもバレそうになったら、保身のため私を悪者に仕立てる嘘をつくのでしょう。

相談事は、嘘をつかなくなる…良い方法も知りたいのですが、ママ友の中に大嘘つきがいて、嘘つきだわかった時点で、子供を含めてその家庭を疎遠にし、周りのママ友にも評判が広まり、結果、子供も孤立しますよね？

できれば、私の方で子供を育てたいのですが、元妻は虚言癖以外は至って普通にこなしますし、元義母のフォローもあり、育児環境は先方の方が明らかに良いので、足踏みをしている状況です。