apple ID のメールアドレスを変更すればいいのでは?
そのgmailをapple IDに変更登録するのです。
auのメルアドでappleIDにログインして、メルアド変更をすれば大丈夫です。
「apple ID メールアドレスの変更」で検索すればすぐに目的のページにたどり着けるでしょう。
最初に登録したときに、セキュリティ質問を作ったと思いますがもし忘れていても、リセットして新たに作り直せます。
試しに今、メルアド変更画面にログインしてみましたがすぐに出来ました。
gmailに変更できたら、改めてiPhoneのバックアップをすべてPCにでもとっておきましょう。
そうすれば安心ですよね?