どちらが先輩？微妙な立場の相手に対して

全部で２０人ほどの支社で勤務しています。

私は大学受験の際に一浪し、その支社で4年間アルバイトをし昨年正社員として入社しました。
一方、関係が微妙な相手は私より１年早く一昨年に入社した、短大卒大学編入の同じ年齢の契約社員です。
私は入社２年目の正社員、相手は入社３年目の契約社員ということになります。

去年までは強力なリーダーシップをとる先輩社員がいたので、その支持のもと働くという状況で微妙な間柄ではあったものの、
大きな問題はなかったのですが、その先輩社員が退社し、私が代わってリーダーシップをとり始めた頃から関係が悪化してきました。

言葉の端々に棘があったり、小さなミスを見つけては注意されたりといった感じで、私の指示に対して非協力的なこともあります。
お互い負けず嫌いな性格であるというのも原因のひとつであると思います。

いずれにせよ、私が上に立たないといけない状況なのでうまく彼女とやっていくアドバイスをお願いします。