アメリカでは教育はそれぞれの州によって違いがあるので、NJ州で調べた方がいいと思いますが、CA州の場合ですと、おそらく、日本からの英訳診断書などがあるともっと早いと思います。
保険で下りますが、プライベートでやるより時間がかかることがあります。まず、小児科の医師に相談してください。そこから、Individual Education Program (IEP)やソーシャルワーカー、スピーチセラピストなどによる診断がなされるかと思います。そこからそれぞれにあった療育が週1なり週2行われ、それと平行して通常の幼稚園に通うことが出来るかと思います。また公立小学校(5歳のキンダーは小学校に属しています)にも自閉症などの特別学級がある所もあります。学校の校長に話して見るのもいいでしょう。ただし、これらの療育は英語でされることが多いので、英語の全く分からない児童の場合、それが負担になるかもしれません。NJに日本語による療育があるのか調べた方がいいでしょう。