昨年J-1からH-1に変更しました。結論からいうと、問題ありません。ただし、今後旅行や出張などでアメリカ国外に出た場合、改めてアメリカ大使館でH-1 holderとしてVISA STAMPをもらわなければアメリカに再入国できません。
事実私も昨年秋にJ-1から H-1に変更して、そのまま滞在しています。再来月に仕事の都合でカナダへいくことになったので、その際にカナダのアメリカ大使館でVISA を申請する予定です。J-1の帰国義務は適用される人と、されない人がいます。
問題なくH-1がとれたのなら、あなたの場合は発生していないと推測しますが(適用されている人はまずそのwaiverが許可されないとH-1がとれないハズ)、とにかくパスポートに貼ってあるVISAを見ればわかります。
VISAのexpiration date の下あたりをよく見ると、 two year role does not apply か not subject to 212E と書いてあるので、心配なら確認してください。