ネットでの中古車買取について教えて下さい

無知な私にいろいろと教えて下さい。 現在普通車に乗っています。１０年経過し、走行距離は約１８万キロです。 今回、軽自動車を新車で購入することになりました。 ディーラーでは今の車に下取りの価値はないと言われ、私もそうだろうと思っていましたので、 廃棄料約８千円を支払い処分してもらうつもりでいました。 その話を職場でしたところ、ネットで必要事項を入力し見積もりを出してもらい、古い車を買い取ってもらったいう人がいました。 私も実際にネットでやってみたところ、即連絡があり、自動車税の還元と車検(９月)までの月割り料金を合わせて約２万円で購入してもらえると言われました。 自分の出費がないだけでなく、２万も貰えるとは！と驚きました。しかしこういうサービスを利用したことがないだけに、かなり心配な気持ちもあります。 利用されたことのある方の意見が聞きたいです。 それと新車の納品は、早ければ７月の連休初日１４日にはできるようです。 今の車の廃棄・それに伴う手続きはいつまでに行えばよいものなのでしょうか。 何日までか実際の日にちまで教えていただけるとありがたいです。 よろしくおねがいします。