確率ゲーム３

レス24

（トピ主 2 ）

数学屋

2013年01月30日 22:26

話題

あの名トピから8年…

『あなたはコインを投げて賞金がもらえるゲームに参加しています。
コインを投げて表が出ると100円もらえ、裏が出ると何ももらえません。
そして表が出たらさらにコインを投げることができ、表が出たら
賞金は200円にアップします。裏が出たらそのまま100円で終了です。
表が出る限り何度でも振ることができ、表が出るたびに賞金は倍に
なります。裏が出た時点でそれまでの賞金をお持ち帰りで終了です。
このゲームに参加費を払って参加できるとしたら、いくら以下なら
参加したいですか?』

今回は数学の問題とはいえず、正解はありません。
皆さんの熱い回答をお待ちしております。

そしてある数学者の語った驚愕の答えとは…?
(つづく)

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労力をのぞいて10万円かな

チーズケーキ

2013年01月31日 12:56

名トピの存在を知らないので、参加費というのは1回100円という前提ですよね、きっと。だから、 100円×1000回位で元が取れるはず。アバウトに計算してみました。

トピ内ID：2029096875

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１００円未満ならチャレンジします！

おみと

2013年01月31日 12:56

■{100(n-1)}**{1/(2)**n}　(n=1～∞) 自分ならこの値かな。感覚的には、限りなく１００円に近い数字が期待値かなぁ。

トピ内ID：5635277424

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100円

ピーター

2013年01月31日 16:47

100円なら1回目に裏が出て失敗しても諦めがつくので。ギャンブルで発生するあぶく銭に期待して、お金をかけたらダメダメ。 1回もやらなきゃ、お財布からの出費はゼロ円なんだから。 1回100円なら、娯楽ですむからね。なんて、回答は夢がないかしら？

トピ内ID：3291101498

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補足

数学屋トピ主

2013年02月01日 10:34

チャンスは1回限りとしましょう。 1回100円だったらやってみるか？ 200円だったら？いくらを超えてたら「やーめた」にしますか？というのが質問の趣旨です。

トピ内ID：6375972582

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50円

カエル君

2013年02月01日 15:43

　２分の１の確立なので配当は２倍欲しいので掛け金は５０円　続けて２回行うというのは『勝（連続表）』の確率が結果４分の１なので配当４倍が希望額。だから２００円の賞金なら５０円。　３回行うのは８分の１なので４００円の賞金に対し配当８倍の５０円　ただ２回目以降は負けても損をしないと言うところがミソなのでしょう。　勝ち続けるかぎり次の試技での勝確率は常に２分の１。　ただしトピ主さんに補足におかしな点があると思います。　＞＞いくらを超えてたら「やーめた」にしますか？　２回目以降は負けても０にならない、　＞＞裏が出た時点でそれまでの賞金をお持ち帰りで終了　賞金が減らないのであれば勝ち続けたなら「欲限り」挑戦を選ぶと思いますが・・・・・・。

トピ内ID：5256493978

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50円なら

シグマ

2013年02月01日 17:42

数学者の答えを期待していますがまだなので，もらえる金額の期待値を計算を試みました。解釈が違ってなければ… 1回目に1/2の確率で裏が出たらゲーム終了で0円：1/2・0 1回目で表が出て2回目で裏が出たら100円：1/2・1/2・100 1回目2回目とも表が出て3回目で裏が出たら200円：1/2・1/2・1/2・200 ...の総計 n回目まで行うとして一般項は 1/2^n・2^(n-2)・100 かなあ。つまり1回だけと限れば期待値50円で上限が1増えるごとに期待値は25円増えると。そして上限がないから，いくら払って始めようが期待値はそれを上回る。ですかね。で，私がいくらなら参加するかというと…50円かな。「あなたが胴元なら参加費をいくらにしますか」という問いならどうだったでしょうね。私は胴元にはなりたくないですが。

トピ内ID：3204499027

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参加しない

傍目八目

2013年02月02日 11:27

　これが答えでしょう。理由は、以下の各々かな。 1「コイン」と書いてはいるが、表裏が出る確率が明示されていない。　どこにも５０％とは書かれていない（立つ可能性もある） 2１００円そこそこだったら面倒 3参加費を払って賞金をもらうのは違法性がある 4参加費は主催側で決めた値に対して数学的に判断するもの　

トピ内ID：1599752659

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50円

匿名

2013年02月02日 15:24

んー、いくら期待値が無限大でも実際やるなら50円かな。まぁ胴元としてやるなら、最高一億とか支払い上限決めてやるしかないよね、これ。あっと驚く回答はなんなんだろうね。早く知りたいね。

トピ内ID：1588451055

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１０円

🐱

ちーちゃん

2013年02月02日 16:29

１０円ならやるかな…。

トピ内ID：0004407134

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期待値は２００円？

まるまる

2013年02月02日 16:53

表裏が確率２分の１として、単純に考えました。仮に１２８人が参加したとします。０円の人、６４人、計０円１００円の人、３２人、計３２００円２００円の人、１６人、計３２００円４００円の人、８人、計３２００円８００円の人、４人、計３２００円１６００円の人、２人、計３２００円３２００円の人、１人、計３２００円３２００円以上の人、１人・・・これが計算しにくいですが確率的には６４００円に収束する感じがします。つまり１２８人の受け取る金額は総額で２５６００円、１人あたりは２００円です。５０円以上なら損はしない感じですが、１００円でも十分やる価値はありそうです。でもこれでは名トピじゃないですよね。

トピ内ID：0544389550

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ギャンブルは余裕金でやりましょう（笑）

電気技術者

2013年02月02日 23:37

　コインの表／裏が出る確率が１／２だとして、勝っているときに次のコイントスを止める方が良い理由は無いので、勝っているときはコイントスを続けるとした場合、　数学的には獲得賞金の期待値は無限大になります。しかし、統計的には発生確率が５％以下の現象は現実には起きないとして検定するのが普通ですから、その考えを適用すると、　期待値は１００円となります。　また１００円以上を稼ぐ確率は５０％以上あります。　ということで、確率論的には１００円というのが妥当となるのですが、世の中の賭け事は、こういう心理では行われていません。胴元が確実に稼ぐと分かっていて、みんな宝くじを買い、馬券を買うわけです。　宝くじと比較して確率を考えた場合、１枚１００円で１等１億円のくじだったら１０枚のくじを買うという人なら、このトピのシステムにはざっくり５０００円くらい投じてもいいということになります。　では、私が具体的にどうするかと言ったら、宝くじは１０枚買っても、このシステムに投じるのは１００円です（笑）。

トピ内ID：9245541782

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胴元が信頼できるなら

🙂

てん

2013年02月03日 12:13

1回限りで、いくらを超えたら「やーめた」なら、このゲームの参加権をオークションで競ってるイメージをすれば良いのかな？それなら、最高２万円までですね。１万円までなら迷わずチャレンジします。１万円以上は悩みますね。２万円を越えたら、すっぱり諦めます。ただ、これは私が貧乏だからで、金銭的に余裕があるなら、もっと出すかもしれません。ただ、このゲームを主催しているのが、個人なら参加しませんし、一般企業（ラスベガスなど）なら、５００円が限界ですね。絶対信頼できる（必ず支払い、不正をしない）理想的な相手なら、当選金額０～無限大（確率５０％～０％）の宝くじって感じなので１回は、やって見たいです。

トピ内ID：1120294630

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不思議

まるまる

2013年02月03日 14:42

前レスは仮に１２８人でやってみましたが（結果２００円）、参加人数が少ないほど期待値は５０円に近づくようです。逆に言えば参加者が多ければ期待値はどんどん大きくなるはずです。恐らく１０億人が参加すれば１００億円以上もらえる人も出てくるでしょう。このゲームはある意味宝くじと同じような気がします。他の参加者によって期待値が変わるとは、最初は思いませんでした。

トピ内ID：0544389550

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そうですね

数学屋トピ主

2013年02月03日 16:22

>このゲームの参加権をオークションで競ってるイメージをすれば良いのかな？そのイメージがより的確ですね。参加権が1円スタートでオークションに出ていたとして、いくらまで入札するか？ということです。今のところみなさん渋いですね。

トピ内ID：6375972582

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真面目に考えると

せいぜいこのくらい

2013年02月04日 11:11

数学的な意味での期待値が無限大なのは自明。しかし現実には二つの問題点がある。一つは何人がすでに指摘している通り、胴元がいくらまで払えるかの問題。例えば賞金が1億円以上の場合は1億円までしか支払わないなら、20回以上連続して表が出ても全て1億円しかもらえないので、期待値は2000円となる。もし胴元が米国政府で、財務省のプラチナコインで幾らでも払ってくれると仮定しても、超高額面のコインが現実にその額面で使えるかが第二の問題。例えばそのコインで米国全体を買収しようとしたら確実に拒否される、と言うか恐らくCIAに暗殺される。一方で米ドル札を無限に刷れば、ジンバブエ状態のインフレになって、結局は額面相当の価値では使えない。以上の考察から、3000円程度が限度だと考えられる。

トピ内ID：2972997163

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胴元としてやるなら200円

toto

2013年02月03日 16:41

最初の1回が成功する確率は1/2、賞金100円 2回目まで成功する確率は1/4、賞金200円 3回目まで成功する確率は1/8、賞金400円 4回目まで成功する確率は1/16、賞金800円胴元をやるなら挑戦権は200円にするかな。 2回成功すれば元が取れる。確率25％と分は悪いけれど、これをクリアするとさらに高額な賞金も期待できます。ギャンブルとしてはまぁまぁ面白いバランスでしょう。可能性としては超高額も有り得ます。しかし、5回目くらいからはあまり期待できないくらい低い確率になってしまいます。また、胴元側から考えるなら超高額賞金の可能性もありますので、賞金の上限は設定しておくべきでしょう。ちなみに、10回目まで成功する確率は1/1024、賞金49600円。 11回目成功で10万円獲得、そこで打ち止め。とかが良いかな。大当り～！と宣伝して射幸心を煽ります。この条件だと胴元はボロ儲けです。そう、賭けの胴元は儲かるのです。誰もが今の仕事を辞めて、賭けの胴元をやりたがるでしょうね。だから、賭け事は法律で禁止されています。

トピ内ID：7112658699

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100円かな

🐧

コワルスキー作戦！

2013年02月04日 20:29

0円×50% 100円×25% 200円×12.5% 400円×6.25% ・・・の総和なんだから、期待値は収束しません。では、いくらなら参加するか？時間は有限ですからねぇ。10回連続して表が出たところで5万でしょ？実際にコインを投げるなら、100円で参加してかるく運試ししてサヨナラかな。 1万円からスタートするなら、参加料2万でもいいかな。100万からスタートなら結構出すかも。

トピ内ID：7007478437

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2/3 16:22のレスの修正

せいぜいこのくらい

2013年02月05日 10:42

2/3 16:22のレスに勘違いがあったので修正です。一回目に表、二回目に裏の場合の確率が1/4, そのときの賞金が100円だから、期待値へのこの分の寄与が25円、以下n回目まで表でn+1回目に裏の事象の寄与は全て25円。賞金が1億円に達するのは20回連続表が出た時点で、従ってそこまでの事象の寄与は25*20=500円。それ以上表が出ても1億円しか払ってくれないなら、その事象の寄与が25円で、期待値の合計は525円。同様にして、米国政府相手の賭けでも、期待値はせいぜい1000円程度。もし個人相手なら、せいぜい300円程度だと思う。

トピ内ID：2972997163

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意味がわからないですが…

暇人

2013年02月05日 12:13

参加費いくらでもなら１円？でもそういうギャンブルがあるなら参加費は100円じゃないかな？ 200円の参加費で0か300円なら最初から参加しないと思う。確率ではなく、心理学的に。

トピ内ID：2304906604

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これは有名な問題です

ひつじ

2013年02月05日 17:46

　これは昔から「ペテルスブルグの賭け」と呼ばれているもので、期待値が無限大なので、いくらはらって賭けに参加しても儲かりそうなのに現実はそうではないというパラドックスです。ネットで検索すればいろいろな解説があります。　期待値は、表裏で100円もらう確率は1/4、表表裏で200円もらう確率は1/8、表表表裏で400円もらう確率は1/16・・・等々なので　100・1/4＋200・1/8＋400・1/16＋800・1/32＋・・・＝100(1/4＋1/4＋1/4＋1/4＋・・・）＝∞ となります。　なので、どなたかが指摘されているように、現実的には、支払金額に上限を設けておかねばなりません。　いくらなら参加するかはそれによるでしょう。　なお、参加人数を問題にしている方がいますが、人数は関係ありません。

トピ内ID：2874244105

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リスクをどう考えるか？

🐧

ヤギ

2013年02月06日 22:14

このトピ、数学好きにとってはたまらないですね。面白い！多くの方のコメント通り期待値が∞（無限大）なので、数学的には“参加費がいくらだろうが参加すべき”となります。しかし、実際は仮に１億円持っていたとして『１０億円でも参加する？』と聞かれたら答えは“No”です。１０億円あればこの先、楽して生きて行けるし、このゲームで元（１０億円）以上をとる確率も極めて低いからです。多分、価値観（金銭感覚）や博打好きかどうか、庶民か富豪かなどによって差が出てくるでしょう。庶民の私なら遊び感覚で、４分の１の確率で元以上をとれる２００円で参加します。

トピ内ID：5827886829

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すみません一カ所訂正します

🐧

ヤギ

2013年02月07日 11:45

前のレスで、 “しかし、実際は仮に１億円持っていたとして・・・・” と記載しましたが、“１億円”ではなく“１０億円”の間違いです。訂正します。それと、「そしてある数学者の語った驚愕の答え」を早いとこ教えて頂きたいのですが・・・。気になって気になって。

トピ内ID：5827886829

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ある数学者の語った驚愕の答えを教えて下さい

あのですね

2013年02月25日 12:26

２回表が出れば元がとれるから３００円ぐらいかな。それよりもとぴ主様、数学者の語った驚愕の答えを教えてくださいな。

トピ内ID：7013097832

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期待値は無限大で

ほげらほげら

2013年02月25日 17:24

幾人かのご指摘の通りこのゲームの期待値は無限大ですね。だから、参加費がどれほど高くても参加したほうが良い、というのが数学的なつまらない答えですね。ゲームの前提条件については、例えばＲＰＧゲーム内の「遊技場」でのゲームとでもすれば、胴元はそれこそいくらでも支払可能なのでその辺を根拠に「成り立っていない」というのはちょいと短絡ですね。よくある解釈として「我々人間は、この期待値が期待値として意味を持つほど長生きではない」というのがあります。期待値が期待値とて意味を持つには無限回の試行が必要です。「ルールとして何回でも参加可能」「資金的に何回でも参加可能」、「長生きできる」が問題なんですね。数学の問題としては「参加費がどれほど高くても参加すべし」が正解になっちゃうんですが、現実にはこれらの問題があるので人間の価値観の問題になっちゃうんです。この寓話から学べるのは人の投資活動は期待値のみを根拠とはしないということですね。そうでなければ期待値が150円に満たない宝くじ（1枚300円）を購入する人々が多い理由がなくなっちゃいます。　　

トピ内ID：5513225193

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