賢い人教えてください！SPI・場合の数が解らない！

レス14

（トピ主 3 ）

💋

ドーナッツちゃん

2014年03月15日 00:00

仕事

タイトルどおりなのですが、10数年前高校生の頃に習ったっきり、スッカリ忘れて解けません。就職試験があるのですが、すっきり理解できなくて困っています。数学に強いかた、いらっしゃいましたら教えてください。問題：一枚のコインを5回投げるとき、表が3回でる場合の数を求めなさい。答え：5C3＝5！/3！×（5-3！）＝10通りらしいです。分母の5-3の意味がわかりません。なぜ3！に5-3！をかけるのですか？「5-3！」の「5」は「5回」投げる回数の5？ 3!はダブって数えている分を割るのかな？と思っているのですが（5-3）！の5と3はどこから来た5？表が出る回数の3？5-3で裏が出る回数？でもなぜ掛けるの？解りませんあと、場合の数と確率がごっちゃになってしまいます。時間をかければ理解できるのですが、SPIとなると時間が足りません。素早い理解のしかたはありますか？みなさんはどうやって瞬時に理解しているのでしょう？教えてください。よろしくおねがいします。

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私は正に、今日、転職を決めました

♨

ひろ

2014年03月15日 16:56

私はSPI3-Gでした。最も回答が厳しい数値入力回答です。トピ主さんは、疑問を解決する必要はありません。公式を覚えるのです。そして、練習するのです。これしかありません。なぜこの式で解けるか、そんなの数学者になるわけでなく、試験に合格するというのが目的ですから疑問に思うのを止めるべきです。即刻、教本を買い、練習あるのみです。また性格診断も侮ってはいけません。これは職業に対する適正を見抜くものであり、いい顔しようと答えると、バレます。教本にも書いてありますが、性格診断にも正解があるのです。こちらもきちんと準備しましょう。これはゲームです。高得点を取ったものが勝ちます。ですから教本の教えを暗記し、攻略しましよう。私も不安がありましたが、教本通りにやって、突破しました。４月から新天地です。トピ主さんも頑張ってください。

トピ内ID：2492165944

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直感的ですが、、、

a000000000

2014年03月15日 16:56

5C3＝5！/3！×（5-3！）＝10 とするよりも 5C3=(5×4×3）/(3×2×1）＝10　とするほうが理解しやすいと思う。分子の5×4×3は5P3を表している。例えば5人から3人選んでその3人に順位をつけるとすると何通りになるかを考えると5P3で表される。またここである3人を選んだとき、その中で順位をつけるとすると3P3通りになる。つまり5人のうち3人を選ぶ場合の数をAとすると 5P3=A×3P3 A＝5P3/3P3＝60/6=10 となる。これが正しい理解なのかといわれるとわかりませんが直感的にはこういう理解でいいかと思います。

トピ内ID：4640394799

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同じものを含む順列

ジュピター

2014年03月15日 16:56

異なる５つのものを並べると５！です。そこで、表・裏ではなく、全てを区別するとします。表１、表２、表３、裏１、裏２の５つの出る順番は５！通りしかし、実際は表の３つが区別できないのでその３つの並び順３！でわる。同様に、裏の２つ（全５つから表３つを除いたもの）の並び順でわる。この裏の区別をなくすのが、（５－３）！＝２！ということです。確率と場合の数は、前者は全てを区別するとして考えることが重要。後者はおなじ結果となるものは１つに数えるので重複を解消することが重要。例えば、さいころ２つを投げたときの出目の和は２～１２の１１通りとなる。これが場合の数。和が最も出やすいのは和が７となるとき。これは和が７となるのは、１と６、２と５のように最も和が７となる組合せが多くあるからですね。これが、最も簡単に場合の数と確率を区別する例の１つでしょう。具体的にスピードアップするには、パターン別に解き方・公式を覚えること。特に積の法則・和の法則の理解を深めることでしょう。正しいアプローチはたくさんあるが、最短ルートを用いるにはこの２つの法則の理解が最も重要です。

トピ内ID：9797596160

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なんというか・・・

彼方

2014年03月15日 16:56

公式の意味を無視したというか、無理やり逆算したような解答ですね一番簡単に書くと 5C3=(5・4・3)/(3・2・1)=10通りもしくは 5C3=5C2=(5・4)/(2・1)=10通りとなりますさらにその解答に近い形にしていくと 5C3=5P3/3! ={5!/(5-3!)}/3! =[(5・4・3・2・1)/{2・1)}]/(3・2・1) =10通りとなります 5P3が総当たりの場合の数になります 3!が総当たりの中で重複してる数になりますここでやはり、5-3!ってなんだよ…ってなるわけですがこれには何の意味もありませんただ5P3=5・4・3を数式として成立させるためだけの要素です

トピ内ID：3039294646

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数学の先生です

🐷

黒豚

2014年03月15日 18:26

これは５枚のコインを並べるのと同じことですね。５枚のコインに番号をつけて左から順番に並べると５！の並べ方があります。１枚目が５通り、２枚目が４通り、３枚目が３通り、４枚目が２通り、５枚目が１通りで、５×４×３×２×１＝５！例えば表３回、裏２回の１つの例として表、表、表、裏、裏があります。５枚のコインを区別すると、こういうのが全部で５！通りあるわけです。この場合表のコインだけ見ると(表１、表２、表３)(表１、表３、表２)(表２、表１、表３)(表２、表３、表１)(表３、表１、表２)(表３、表２、表１)の６通りあります。３！通りということです。裏のコインは(裏１、裏２)(裏２、裏１)の２通りがあります。つまり２！通りあります。つまり先に考えた５！の中には３！×２！の重複があるというわけです。重複回数は３！×２！です。だから組み合わせは５！/(３！×２！)となります。５は投げる回数で正解。３は表の回数、２は裏の回数です。全５回中３回が表なので裏は(５－３)回ですね。２！を(５－３)！と書いてみれば理解できるのではないでしょうか。

トピ内ID：3860628175

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追記

🐷

黒豚

2014年03月15日 18:26

数学Aの教科書か参考書を見てください。その時に自分に分かる書き方をしているものを選ぶことが大切です。素早い理解の仕方とは結局そう言うことではないでしょうかね？就職試験、がんばってください

トピ内ID：3860628175

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樹形図を使ってみたら？

１D

2014年03月15日 18:26

樹形図が簡単で分かりやすいと思います！

トピ内ID：5781638190

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他にも同様のレスが付く事でしょうが…

名ばかり臨床検査技師

2014年03月15日 18:26

　分母は"3!×(5-3)!"です．「コインを5回投げて，そのうち3回表が出る場合の数」の答えは，5!/{5!×(5-3)!}=10通りになります．　コインを5回投げて3回表が出る現象の起こり方は，　　　表表表裏裏　　　表表裏表裏　　　表裏表表裏　　　裏表表表裏　　　表表裏裏表　　　表裏表裏表　　　裏表表裏表　　　表裏裏表表　　　裏表裏表表　　　裏裏表表表の10通りですが，これについては「3個の『表』と2個の『裏』を互いに区別して，表1，表2，表3，裏1，裏2，の5個を1列に並べると考えると，その並べ方は5!=120通りある．しかし実際は，表1～表3及び裏1と裏2の並べ方に区別はないので，それに相当する3!×2!＝3!×(5-3)!=12通りの分は実質1通りになる．従って本来求めるべき場合の数は，5!/{3!×(5-3)!}=10通り」と考えられます．　一方確率は「コインを5回投げて3回表が出る可能性」で，これは，上記の場合の数をコインを5回投げた全ケースの数（=2の5乗=32）で除した，10/32=5/16が答えになります．

トピ内ID：1431300012

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大学生の母（元・文系）

🎶

ｃａｆｅ

2014年03月16日 12:01

Ｐ（Ｐerumutaiton）は　順列　　　例えばですが、左から順に「並べる」イメージ　　とにかく「順番」が大事。　　５Ｐ３＝５×４×３　　　　　＝６０（通り）Ｃ（Ｃombination）は　組み合わせ　　　並べるのではなく、「選ぶだけ」のイメージ　　順番は関係ない。　順列でダブってカウントしたものを、”割ること”で削除するイメージです。　　５Ｃ３＝５Ｐ３/３！　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝５・４・３/３・２・１　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝１０（通り）あるいは（トピ主の本文では誤表記でしたが）　　　　５Ｃ３＝5!/3!(5-3) ! 　　　　　＝5・4・3・2・1/3・2・1・2・1 でも同じことです。「確率」はａ（ability）/Ｎ(Number)　の公式で求めます　ａ　は、あることがらが起こる場合の数　Ｎは、起こり得る全ての場合の数　この”場合の数”は、ＰやＣを使うことが多いです。　　Ｕtubeだと音声があって分かりやすいですよ。

トピ内ID：3193859603

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皆様ありがとうございます

💋

ドーナッツちゃんトピ主

2014年03月17日 11:55

みなさんそれぞれに、賢い人達・・と思いながら見てました。よくこんな問題に即答できるもんだなぁ・・なんて。特に私もどちらかといえば文系なのでcafeさんのお答え解り易く助かりました。高校時代にもすっきりしてないまま、公式を覚えて深く理解せずになんとなく解いてきたので結局またおなじところで躓いてしまったのかな・と思います。そして本文の分母の（5-3！）は（5-3）！の誤りでした。みなさんからいただいた答えをプリントしたのでこれからじっくり読みます。 ☆3回出るのは何通りか？ということは、何回目と何回目と何回目に出るか？を、それぞれ区別しなさいよ、という意味だから、出るパターンが何通りあるかを全部カウントするということ ☆そして表が3回なら必ず裏が2回出るのでその裏の出方も重複分を除外するのが（5-3）！なのかな？というように理解できました。試験まであと2日しかないので、本当は個別にレスしたいのですがまた試験が終わってからレスします賢者の皆様ほんとうにありがとうございます。ひろさんの言うとおりあとは公式をたたきこみ練習します！

トピ内ID：1365558527

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根本的な考え方を説明します

🐴

ぱど

2014年03月17日 12:59

場合の数、確率・・・わからない人にはややこしいかもしれませんね。場合の数は単純にパターン数を求めればいいのです。今回の場合は5回のうち3回が表なので表表表裏裏の状態にすればいいのですが、パターン数はこれを並び替えたパターン数だけあります。じゃあどうやってそれを求めるか？ ○を表、×を裏としましょう。 □□□□□ 上の枠の中に○3つまたは×2つを入れればいいのです。例えば○で考えると最初の○は好きな枠に入れられるので5箇所に入れられます。つまり5パターンです。そうすろと例えばこうなりますね？ ○□□□□ 2つめの○は4箇所しか空きが無いので4パターン最後の○は3パターン残りは×が自動的に入るので1パターンです。そのパターン数は掛け合わせればでるので 5×4×3 ですが・・・ ○×○×○　の○は区別が付かないのでどのように並んでも一緒ですね？続きます・・・

トピ内ID：2680368219

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続きです

🐴

ぱど

2014年03月17日 12:59

例えば下のような順番で○を設定したとしても同じ並びになってしまいます。１□２□３２□１□３そこで○3つの並び分の重複を考慮して○3つのパターン数で割ってやります。上記までと同じように考えて・・・ □□□　に○を３つ並べます。最初は3パターン、2つめは2パターンなので 3×2×1 通りあるわけです。つまり (5×4×3)/(3×2×1) = 10通りとなります。ちなみに×でやっても同じです。 (5×4)/(2×1) = 10通りでこれは並べ替え全てに当てはまるので早く計算するために公式化されています。それが高校で習った　5C3 とか 5P3/3! という記載の仕方ですね。ちょっと長くなりましたがどうしてこのような計算式になるかわかりましたでしょうか？参考になれば幸いです。

トピ内ID：2680368219

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レスありがとうございました。テスト終わりました。

💋

ドーナッツちゃんトピ主

2014年03月21日 16:35

SPIテスト受けてきました～！結論から申しますと、確率は出ませんでした。しかし確率や場合の数の考え方は、とても勉強になりました。黒豚さんの解説、よく読みこむと解り易い！と思ったら数学の先生でしたか。理解しやすく助かりました。ありがとうございました。皆様の全部の回答を拝読して、理解のしかたそれぞれ参考にさせていただきました。非常に助かりました。ありがとうございました。これを機に、一度数学の勉強、さらに続けて仕事に役立てようと思いました。

トピ内ID：1365558527

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TOEIC800から得点UPする方法

💋

ドーナッツちゃんトピ主

2014年03月21日 16:35

こんにちは。私は今TOEIC820点を持っています。もともと700点とれなかったときは、自分のレベルに合った「700点をめざす」的な本を読んで、なおかつリスニングに力を入れて、「出まくり英文法」という本で繰り返し勉強して2ヶ月対策して695から820点になりました。リスニングはほぼ満点とれていましたがリーディングの点数が低くて。時間は必死で集中して少し余るってかんじです。知らない単語が出たらちょっとつまづいてしまうので単語を覚えるのが良いのか、文法を強化するのがいいのか・・いろいろ迷っています。何か勉強のコツはありますか？800→900点代を突破するために、どういう勉強が有効でしたか？高得点のかた教えてください。特に、おすすめの本があれば教えてください。あと、ケンブリッジのgrammer　in　use　のアドバンスを持っていますが、この本で勉強するのと日本で市販されているTOEIC対策本で勉強するのはどちらが有効だと思われますか？ご意見をお聞かせください。ちなみに5月に受験を考えているので、時間はあまりありません。よろしくお願いします。

トピ内ID：1365558527

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