健康保険に詳しい方、教えてください

『国民健康保険資格喪失後診療分返還請求（一般）』というものが
区役所から送られてきました。

私は今年2月から5月にかけて、90日の失業手当を受給しており、
（派遣で再就職の予定でしたが、先方都合で受給中の再就職ができませんでした）
その期間は、国民健康保険加入者でした。　※手当が扶養範囲を超えてしまうため

「健康保険の資格を失っていた期間分の国保負担分を返還しなさい」という
通知の概要はわかるのですが、今回の支払いで実費支払いしたことになるかと思います。

とすると改めて、夫の会社に（健康保険組合に）請求することができるのでしょうか。
わかるかたいらっしゃいましたら、教えてください。

・区役所からの返還請求分は5/21分の治療費（領収書から再計算しても合致）
・失業手当の最終認定日は5/21、振込は5/25、支給は5/13までの分
・夫の会社にはいつから加入したのかはっきり言われていないが、
　被扶養者健康保険証の交付日は5/28（保険証に記載されている）
・尚、国保の保険証は被扶養者保険証を持って返却に行った（5/28以降）

私は5/21の受診分は国保を使えるものと思っていたのですが、違ったようです。。