【教えてください】中学１年生の数学の問題

レス39

（トピ主 2 ）

🐱

ゆ

2016年12月12日 10:20

話題

娘の中学１年の数学の問題でどちらが正しいかわからずもやもやするので皆さんのご意見を聞きたいです。【問】１辺１０ｃｍの正四角形ABCDがあり、Bから出発してCまで進む点Pがある。　　　辺BPの長さXとし、三角形ABPの面積をｙとする。　　　このとき、Xの領域を求めよ。という問題です。学校の答えは、０≦X≦１０だったのですが、 X＝０のときは、ABP＝ABであり、（直線なので）ABPは三角形ではありませんので、 X＝０は含まないと思われます。しかし、「Bから出発してCまで」とあることからX＝０も含むと考えることもできます。問題が矛盾しているように思うのです。数学ですので、厳密に条件を指定しなければ混乱が生じます。現に中学生の娘もこの矛盾に気付いて悩んだといっています。くだらない話ですが、皆さんの意見を聞かせてください。よろしくお願いします。

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面白い着眼点だと思います。

💤

あつがり～のふ

2016年12月13日 17:47

高校の数学だとx＝0の場合とそれ以外とで分けて考える問題も出てきますよね。決して下らない話ではないので、先生に質問してみてもよいのでは。ご質問のケースでは、三角形ＡＢＰが三角形の形を成す（面積ｙがゼロでない）ことは「条件に含まれていない」ので、x=0を含むのが正解（特に矛盾はない）と思います。

トピ内ID：0790540268

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教科の担当教諭に相談しましたか？

🐷

まちゃ子

2016年12月13日 17:47

その上で聞いていらっしゃるのでしょうか？

トピ内ID：1602908807

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良い問題とはいえませんが

🐱

緑鍵盤

2016年12月13日 18:12

＞１辺１０ｃｍの正四角形ABCDがあり、Bから出発してCまで進む点Pがある。＞辺BPの長さXとし、 ⇒この時点で、Ｘの範囲（領域）としては、０≦X≦１０　　になりますよね。で、次に、　　＞三角形ABPの面積をｙとする。と来たわけだから、Ｘ＝０のとき三角形にならないじゃないかという突っ込みはアリかもしれませんがが、Ｘの範囲についてはもはや、確定済みと考えるべきでしょう。良い問題とはいえませんが、文句をいうホドではないと考えます。厳密性を追求して「三角形ABPの面積」を「三点Ａ，Ｂ，Ｐで囲まれる図形の面積」って言い換えたら、大部分の生徒は困惑するでしょう。

トピ内ID：8990750078

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定義の仕方かな

☀

クマちゃん

2016年12月13日 18:42

通りすがりです。 Bから出発してCまで進む点Pと定義されているので、０≦X≦１０　だったのでしょう。先に三角形ABPが定義されていたら、０＜X≦１０　となったかもしれません。前者の場合、ABPがつくる図形の面積と考えると、０≦X≦１０、Ｙ＝5X　で、０≦Ｙ≦50（平方センチ）かな。つまり、高さが0の三角形があってもいいとか。どなたか分かる方教えてください。では

トピ内ID：8026908811

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学校が正しいと思う。

🙂

ノーリー

2016年12月13日 19:10

点Ｐの条件は、ＢからＣまで進む点、とだけしかなく、常に三角形を形成するという条件は書かれていません。先にＢＣ間を進む点Ｐという条件が先にあったうえで、それを利用した△ＡＢＰの面積を想定しているので、Ｘは三角形の構成に拘束はされないと思います。もしＸ＝０ならＹ＝０となるだけで、問題ないと思います。

トピ内ID：0768179051

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BPの長さがX

♨

おっさん

2016年12月13日 19:10

三角形ABPの面積がY Pは「三角形の頂点でなければならない」とはどこにも書いてありません。単に Xは　Bから出発する点であるPのなすBPの長さという定義があるだけです。付け加えて言えば、高さが0の三角形　というのはなんら矛盾する概念でもありません。

トピ内ID：9685901190

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ABPは三角形でなければならないわけではない

🐱

も

2016年12月13日 19:10

＞三角形ABPの面積をｙとする。とは、点ABPで囲まれた形が三角形になるときは、その面積はyとする、という意味では。 Bから出発してCまで進む点Pと条件が先にあるので、 P＝B、P＝Cが成り立つ、0≦x≦10と前提するのが先では。数学者おいでませですね。

トピ内ID：6150118917

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０＜X≦１０

青いママ

2016年12月13日 19:10

０＜X≦１０かなぁ。＞X＝０のときは、ABP＝ABであり、（直線なので）ABPは三角形ではありませんので、＞X＝０は含まないと思われます。これ、同意見です。「Bから出発してCまで」とあるけど、そのどこが該当するのかを求める問題でしょ？入らない時があってもおかしくないので、問題としては矛盾は感じません。そのなかで入る時のみ記載なら、０＜X≦１０。 Xが、整数という縛りがついたら、１≦X≦１０かなぁもし、０＜X≦１０で、間違いなら懇談の時か、お手紙で確認するかと。ただ、中学一年なら、どこまで細かくするのかよくわかりません。0≦X≦10と０＜X≦１０には小さいけど大きな違いがあるとは思いますが。。

トピ内ID：4217699573

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問題文の書き方に問題あり？

kai

2016年12月13日 20:28

問題文が曖昧な気がしますが、私は『「Bから出発してCまで」とあることから X＝０も含む』の考えに賛成します。当然三角形の面積は、０≦y≦5０　ですよね。

トピ内ID：2752993316

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おかしな問題ですね

🙂

富士山

2016年12月13日 23:07

領域って線に対して使いましたっけ? 通常は面に使うのではないかと思うのですが。更にこの問題の流れなら「ｙの領域を求めよ」となりそうなものですがそれなら解答は０＜y≦５０となりますよね。無理やりこじつけるなら、「三角形ABPの面積をｙとする」とは書いていますが「yが存在する場合の」Xの領域を求めよとは書いていないため X＝０もABPは三角形ではありませんが成り立ちます。

トピ内ID：9231009227

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0は変域に含む

NAVI

2016年12月13日 23:07

BP＝χとしたら、PがBにあるときはχ＝0です。だから、χ＝0は変域に含まれます。動点問題の基本中の基本です。覚えておくと良いですよ。中二になると、もう少し面倒な設定の問題が出てきますから。

トピ内ID：1303306873

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アピールすること

🐤

うーん

2016年12月14日 12:12

回答欄に，「B=Pの場合は三角形とならないので除外した。」と付記しておけばいいんじゃないですか。

トピ内ID：7862043293

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x=0は存在するのでは？

😀

…

2016年12月14日 16:38

xについては、BPの長さとしか定義されていないのでx=0はなにも問題ないです三角形が存在するか存在しないかはxには無関係です。 x=0のとき、三角形が存在しないからyは存在しないとするか、面積0と扱うかは微妙ですね。たぶん中学では面積0として扱うと思います。 x=0のとき、Yは存在しないとすると、それぞれの領域は 0≦x≦10 0<y≦50 となります

トピ内ID：7149240217

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聞いてみた

まるまる

2016年12月14日 16:38

中1の息子がいるので、興味半分彼はどう思うのか尋ねてみました。いわく、 0は長さではなく、移動していないという状況を表しているだそうです。

トピ内ID：7184090981

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長さの領域を聞かれている

🙂

ドンキー

2016年12月14日 16:51

三角形が形成されるか否かではなく、Xの取り得る長さの領域を聞かれています。三角形が形成される条件を聞かれているのならトピ主さんの答えになりますが、その条件を聞かれているわけではないです。よって学校の解答でよろしいと思います。 PがBを離れて初めて三角形が形成されるわけです。三角形の形成はPがBを離れた「結果」です。

トピ内ID：6942259706

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問題は前から順に読む

浜育ち

2016年12月14日 17:04

点ＰがＢから出発してＣに到達するっていうのが前提なので、ＢＰの長さＸが取りうる値の範囲は０≦Ｘ≦１０です。仰る通り、Ｘ＝０ならば△ＡＢＰは存在しませんが、そのときの面積はＹ＝０という形で、具体的に与えられます。矛盾はありません。１分あたり１ｃｍずつ燃えていく長さ１０ｃｍのろうそくがある。燃えないで残っているろうそくの長さをＹｃｍとするとき、Ｘの領域を求めよ。という問題があったとして、１０分後にろうそくは燃え尽きてなくなるから、０≦Ｘ＜１０です。とはしませんでしょう？題材としてずれちゃうかなぁ… いずれ、タイトルに書いた通り、問題は前から順に読みましょう。後ろの問題文に影響されて、前提を覆すのは基本的には御法度です。

トピ内ID：4701078494

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基本的には、主さんと同意見です。

わかめ

2016年12月14日 17:27

ただ、yの変域が「y=0」も含む場合、xの変域も0を含むと思いますので、問題文の条件次第かな？とも思いました。 (領域ではなく、変域じゃないかな？)

トピ内ID：0557293239

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訂正

浜育ち

2016年12月14日 17:27

前レスで例に挙げたものが条件足らずで書いてしまったと思うので追記です。１分あたり１ｃｍずつ燃えていく１０ｃｍのろうそくがあります。火をつけてから燃え尽きるまでの時間をＸ(分？)、燃え残っているろうそくの長さをＹｃｍとするとき、Ｘの領域を求めなさい。ですね。何度も読み直したつもりでしたが… これでちゃんと書いてあったら、ただの無駄レス… なんだかいろいろすみません…

トピ内ID：4701078494

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要は点Pの動く範囲

😑

ドナルドトランポリン

2016年12月14日 17:47

三角形ABPの面積がｙ。でもｙはｘの関数とは明記してないですし、単純に点Pの動く範囲（０≦X≦１０）でいいんじゃないですかね？続く問題が有って、ｙをｘで表わせとかなっているんですかね？しかし、中１でこの問題はちょっと高度過ぎませんか？

トピ内ID：2786889313

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自らの過去を思い出した

名ばかり臨床検査技師

2016年12月14日 19:25

　私も中学生の頃，正にその種の疑問を抱いたことがありました．一次関数の単元で，三角形の一辺の長さxと面積yとの関係についてだったのですが，「xがこの値の時はそもそも三角形はできないではないか（3つの頂点のうち2つが重なる）」というわけです．これは授業中に発生した疑問であったため，その場で教師に質問したところ「面積だから別に0でも構わない」との回答でした．これは，「xが或る値を取った場合，『2つの頂点が一致し一辺の長さが0＜従って面積も0＞の仮想的三角形ができる』と考えればよい」という解釈になります．　このような観点からして，お尋ねの問題の場合「点Pの動く範囲（xの値の範囲）は0≦x≦10」で特に問題はないと思われます．強いて言えば「実効的な△ABPが存在するためのxの範囲は0＜x≦10」なる注釈付，という事になるでありましょう．

トピ内ID：8323053629

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単純に

ルイス

2016年12月14日 19:25

トピ主さん親子の理論ですと、A点からB点までの単なる線分の距離ですら、0という値はない、という事になってしまう。 AとBが重なると、もはや「線分」ではなく「点」だから、線分と言えないので0を含まない、という事になってしまいますね。それが正しいか正しくないか、という感覚です。数学的には線分の距離0が、点、とも言えます。数学の根本は、次元を下げても上げても成り立つか、考えてみると良いですよ。理論的には当然、0を含みます。しかし、これは感覚的なものなので、もっと簡単な、数学の感覚をつかむ訓練した方が良いかもです。

トピ内ID：7773098489

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回答ではないけど

🙂

余白がねぇ

2016年12月14日 19:25

△ABPの面積を求めよではなく、xの変域を求められているんですね。だったら、トピ主さんやお嬢さんの疑問の解消こそが正解の意味ではないでしょうか。条件が矛盾していると考えるのでなく、なぜそれが正解なのかをそのテストを作った先生に聞くのが一番だと思います。私の経験上、数学の先生はこういう疑問、大歓迎で熱く答えてくれる人ばかりでした。ここで回答を募ってお母様がお嬢様へ伝えるのでなく、お嬢様が先生に質問して自ら解決していくのが理想だと思うのです。それをお嬢様がお母様へ伝えるのが、復習になり自分の身になる（人に説明できるくらい自分が理解できている）ことでもありますよ。

トピ内ID：1899424650

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なるほど！

ナシゴレン

2016年12月14日 20:32

これまで見てきたどの問題集や参考書でも娘さんの学校側が示す正解と同じ模範解答しか見たことがなく、また自分自身疑問に思ったことがありませんでした。単に「X＝0のときは潰れた三角形だから面積y＝0」と納得していたんですね。なので「なるほど！」と思いました。(でも押したのは面白いポチです。すみません) もし問題文が「三角形ABP」ではなく「3本の線分AB、BP、PAによってできる図形」のような表記だったら娘さんも納得できるのでしょうか。ただ、やはりここは『あくまでも便宜的に』潰れた三角形と解釈するのが妥当かな、という気がするのですが。この矛盾に気づいた娘さん、大物かも！(エールポチも押してあげたいです)

トピ内ID：7648112861

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Bから出発し、とあるから

🐧

ぺんぎん

2016年12月14日 23:31

そもそもの前提に「Bから出発してCまで進む点Pがある」とあるからです。Bの隣から出発するわけではありません。とにかくBからCまで進ませる。これが問題の条件。 Xの領域で問題となるのは長さXのみであって、三角形ABPはどうでもよろしい。この設問では三角形は無関係です。三角形ABPが必要となるのは次の設問ではないですか？

トピ内ID：8971762951

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素直に読む

🙂

mike

2016年12月15日 11:18

Pの定義が何かを考えれば自明でしょう。問題文に明記された通り、Pの定義は、「BからCまで」です。「ABPが三角形となる範囲」ではありません。また、「三角形ABP」という表現は、yの定義のための便宜上の表現でしょう。勝手に矛盾する方向に読み替えず、本筋をとらえて下さい。

トピ内ID：3427314293

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時間経過　ｔ＝0　はありえるのでは？

sinso

2016年12月15日 12:38

命題の「Bから出発してCまで進む点Pがある。」とあるのは出発地点と時間と共に進む方向を示しているもの。既に進んでいる事を前提にはしていないように思います。つまり、ｔ＝0（時間経過が0）　出発地点から時間経過が無く進んでいない状態も含まれる訳ですよね。ですから、ｘ＝0　もありうるかと。そうであれば、面積ｙは0の答えも含まれると考えます。

トピ内ID：0515665011

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矛盾？

😑

なぜ？

2016年12月15日 14:11

BPの長さに条件がありません。 BP>0　とは書いていませんから BP＝0　も含まれるでしょう。三角形の面積についても　y>0 とは書いていません。つまりBP＝0だった場合、三角形の面積yも0になるので、あえて三角形の面積についても何も条件が書かれていないのです。どちらも条件がないのですから、長さも面積も「0」が含まれるでしょうね。中学生の問題では、0を含むか含まないか、「≦」なのか「＜」なのかなど注意が必要。回答するとき、すべての条件を満たしているかどうか？注意しないとミスしてしまう、いわゆる「ひっかけ問題」が多くあります。これもかなり単純なひっかけですね。矛盾ではないです、ひっかけ問題なのです。三角形だから・・・と考えるのではなく、数値で考えましょう。条件が書かれていないのですから、0も含みます。悩む余地すらありません。ひっかからないように。

トピ内ID：4606726230

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面白い！

🐷

呑龍

2016年12月15日 15:35

ちょっと調べてみた。まず、三角形の定義は、＞同一直線上にない3点と、それらを結ぶ3つの… とされているらしい。つまり、Ｐ点が出発するＢ点に存在する時は、三角形とは定義されないようです。従って、トピ主さんが云う、＞X＝０は含まないと思われます。これは正しい、、ようにも思える。ところが、よく読むと、問題文中の次の一文↓ ＞三角形ABPの面積をｙとする。この文は、この設問とは、全く無関係。そう考えると＞Xの領域は？の答えとしてゼロを含む方が正しいように思います。とはいうものの、おそらく、設問がもう１つあるのでしょう。三角形ABPの面積ｙに関する問題だ。もし、そんな問題が追記されていればその問いの答えは微妙でしょうね。おそらくゼロを含まないが正しいのかも。。

トピ内ID：0809722124

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設問は二つ(またはそれ以上)あるはず

🙂

かた

2016年12月15日 16:00

問題はそれだけですか? たぶん二つ以上設問があると思うのですが? 一つ目の設問は「Xの領域を求めよ」ですよね。この問いに答えるだけなら、問題文の「三角形ABPの面積をｙとする」は必要無いのだと思います。【問】１辺１０ｃｍの正四角形ABCDがあり、Bから出発してCまで進む点Pがある。　　　辺BPの長さXとする。このとき、Xの領域を求めよ。考え方としてはこれでオッケーです。そしておそらくですが設問はもう一つ(またはそれ以上)あって、それがXとyが絡んでくる設問なのだと思います。そのときに「三角形ABPの面積をｙとする」という問題文に意味が出てきます。もう一つ(またはそれ以上)の設問は無かったですか? もし無いのだとすると、二番目以降の設問は先生が削っちゃったんですかねえ?

トピ内ID：7854674864

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問題文は正しいのか

🙂

元塾関係者

2016年12月15日 23:38

正直な印象は「こんな問題文は中学１年ではない」というものです。第一に「領域」という言葉をここで扱うのが中１ではないと思うから。数学で領域というものを扱うのは高校２年の図形と方程式。例えば、「x^2+y^2<25の式が表す領域は？」という問題で、「原点中心の半径５の円の内部（境界含めず）」というようなものです。この段階まで領域という言葉は使われません。 xの値の取りうる範囲ですから、中１であれば「変域」という言葉を用います。（仮に高校レベルで教えるなら、「定義域」と「値域」で区別もつけているはず）第二に問題文に書かれている順番が実にぎこちない。＞辺BPの長さXとし、三角形ABPの面積をｙとする。三角形を先に設定してないのにBPが辺と先に言えるわけもないはずですから。先に記述されている場合には「辺BP」ではなく「BP」と記載されるはずです。この場合はBPは辺ではなく線分であり xは線分の長さ＝B,P２点間の距離と考えられ、0≦x≦10が妥当となる。問題文が変なのか、トピ主さんが写し間違えなのか… 複数個所に疑念を抱いてしまう以上は何を信じてよいか判断不能。

トピ内ID：7253932110

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