小学生レベルの質問です。すみません。20センチの輪状のヒモをテーブルに置いたとします（長さは適当です）。それを、円・三角・四角形など形状を変えたとすると、ヒモの内側の広さは変わるのでしょうか。なんとなく「外周が同じなら変わらない」気がするのですが、二点で引っ張り、線に近い楕円にしたら、中に入る量は少なくなる気もします。また、三次元ではどうでしょうか。たとえば、液体を入れた紙コップを平らになるよう掴むと、液体はこぼれます。でも、鉄の入れ物とは違い、指の形にへこんで領域が減ったわけではなく、紙コップがしなって形を変えただけなのに……と混乱しています。この辺りをバカな私にわかりやすく説明してはいただけないでしょうか。

【駄】算数か理科のご質問（容積？） | 生活・身近な話題

外周が同じでも面積は異なる

テナガエビ

2018年05月11日 13:01

外周の長さが同じ図形でも、その形によって面積は違います。最もシンプルな例を挙げます。一辺が10ｃｍの正方形は、外周の長さが40cm、面積は100平方センチです。これに対し、縦が12cm、横が8cmの長方形は、外周の長さは正方形と同じ40cmですが、面積は96平方センチ。縦が14ｃｍ、横が6cmの長方形は、外周は同じで面積は84平方センチ。縦が19ｃｍ、横が1cmの長方形になると、外周は同じでも面積は19平方センチになります。三次元の表面積と体積の関係も同じです。

トピ内ID：1674853555

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和と積

🙂

たか

2018年05月11日 13:01

外周は足し算で、面積はかけ算です。 20センチの紐で正方形を作ると一辺は5cmになります。 5+5+5+5=20cm 一方面積は 5x5=25cm^2 です。細長にして、1辺を1cmと9cmにすると、 1+9+1+9=20cm と外周は変わりませんが、面積は、 1x9=9cm^2 となります。変わることがあるので、「変わらない」のは間違いです。ただ、どうして「変わる」のかを説明するのは、トピ主が感じている違和感をもう少し説明してくれないと難しいです。

トピ内ID：3646483983

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その感覚を実際に当てはめればいい

ＹＩ

2018年05月11日 13:01

単純な解説をすれば面積は長さ×長さで求められるものだから、面積と長さそのものは同列に扱ってはいけません。例えば、周長が同じ四角形同士を比べたとしても正方形の状態から横を長くしていくと、どんどんつぶれた長方形になっていくので、ついには面積が0になってしまいます。 20ｃｍの紐なら5ｃｍ四方の正方形が描けます。面積は25平方センチ。 1辺が1ｃｍと9ｃｍの長方形も作れます。この場合は面積が9平方センチ。 1辺を10ｃｍにしてしまうと、紐をたたむことしかできないので、面積はゼロになる。そして面積を最大にするのは円にするのが一番だと計算すれば分かる。これは3次元でも同じです。表面積が同じでも、正立方体よりも円柱の方が容積は大きい。もっと言えば円柱よりも球の方が容積は大きい。少ない部材で大きな容積を確保しようと思えばガスタンクのような球状タンクがいい。ただ、シャボン玉みたいに空中を漂わす訳にはいかないので、地面に置かなきゃいけないから、球状だとデッドスペースが多くなる。デッドスペースがもったいないからと埋めると円柱になる（これは余談）実際、掲載してみれば腑に落ちると思いますよ。

トピ内ID：6536448946

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広さ(面積)は形状により変わります

🙂

ひげおやじ

2018年05月11日 13:01

いちばん面積が大きいのは円。次に正方形、長方形の順になります。例えば20cmのヒモを、横一杯に広げたとします。この場合横の長さ10cm、縦の長さ0cmなので、面積は0平方センチメートルです。ヒモを正方形にすると、縦・横とも5cmなので、面積は5cm×5cm = 25 平方センチメートルです。円の場合は、円の半径をR、π(パイ)とすると、円周の公式から、2πR=20 　R = 10/π 円の面積の公式から、 π×R×R = π×10/π×10/π = 100/π = 31.8... 立体の場合も同様です。この場合は表面積で比較します。球の体積と表面積の比は、 4/3×π×R×R×R : 4×π×R×R = R : 3 =R/3 立方体の体積と表面積の比は、 R×R×R ; 6×R×R = R : 6 = R/6 となり、球の方が少ない表面積で大きな体積を持つことがわかります。これが、水滴ができるだけ少ない面積になるようにするために、球になる理由です。(表面張力)

トピ内ID：6135309779

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計算すればわかるのに

🙂

54歳です

2018年05月11日 13:01

小学生の算数です。円周率を３．１４として計算します。２０ｃｍの紐を正方形にするならば、1辺が５ｃｍ　5×5で面積は25ｃｍ二乗円の直径と円周の関係性は直径×円周率＝円周円の面積は半径×半径×円周率円周２０ｃｍの円の直径は20÷3.14■6.37ｃｍ半径3.18ｃｍとして面積は3.18×3.18×3.14＝で31.7　（代数計算で最後に3.14を用いると100÷3.14■31.85でこちらの方がより実数に近い）円の面積の方が広いです。現在の中学の数学では習わないようですが、私は中学時代に図形の問題の中で雑談として教わりました。同じ外周の長さならば、角数の多い正図形（全ての辺の長さと角の角度が等しい）の方が面積が広くなると。ひとつ分りやすい実例を挙げると紙で正六角形を作ってみてください。六角形の中には正三角形が6個入っています。切り分けます。その三角形4つで大きな正三角形を作ります。正三角形を4つ使って出来た大きな正三角形と元の正六角形の辺の長さは同じです。つまり同じ辺の長さの正三角形は面積が正六角形の２／３しか無いことが見てわかります。

トピ内ID：4696818755

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実例をあげます

🙂

変わります

2018年05月11日 13:01

ヒモの内側の広さは、変わります。実例を書きます。計算しやすいように、長さ12cmのヒモがあるとします。 1辺3cmの正方形が作れます。では、1辺の長さを1cmずらして長方形にすると短い辺が2cm、長い辺が4cmの長方形が作れます。正方形と長方形それぞれ面積を求めてみます。正方形 3cm X 3cm = 9平方cm 長方形 2cm X 4cm = 8平方cm この通り、同じヒモの長さでも、面積は変わります。三角形や多角形にしても面積は変わり、面積が一番大きいのは円になります。「等周問題」というものなので、もし気になったら調べてみてください。

トピ内ID：5664107563

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例題で計算すると

😀

算数嫌い

2018年05月11日 15:12

簡単な例で、考えましょう。例えば、外周が８センチとする正方形の面積は２x２＝４となります。次に、外周が８センチの長方形（縦１センチ、横３センチ）の面積は１x３＝３　となります。それゆえ、外周が同じでも、その形によって面積は変わります。小学生に出題しても答えてくれます・・・・・

トピ内ID：4489998441

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円と球なんです

🐱

緑鍵盤

2018年05月11日 14:38

まず、周囲の長さが一定の場合、「円形」が面積最大になります。表面積が一定の場合、「球形」が体積最大になります。感覚的には周囲一定の条件のもと、三角形ならとんがった三角形より正三角形の方が面積が大きく、正三角形、正方形、正五角形、・・・、と正ｎ角形のｎが大きくなるにつれ面積が大きくなることから（これは証明容易）、正ｎ角形のｎが超大きくなったらほとんど円じゃん、だから円が面積最大だよねって感じで感覚的に理解できます。ちゃんとした証明は無茶苦茶難しいです。大学の数学科以上でないといと証明できません。詳しくは「等周問題」で検索。

トピ内ID：9501760395

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中学生の回答

😀

算数嫌い

2018年05月11日 14:38

中学生なら以下のように数学で答えると思います。外周２０センチ　縦　x　、横　y　の長方形を考えると面積は　xy　、外周は　２（x＋y）＝２０ x＋y＝１０面積　xy＝x（１０－x） x＝５の時　面積xy＝２５　（正方形） x＝４の時　面積xy＝２４　（長方形） x＝３の時　面積xy＝２１　（長方形） x＝２の時　面積xy＝１６　（長方形） x＝１の時　面積xy＝９　　（長方形）よって、形が変わると面積は変わります。とね・・・・・・

トピ内ID：4489998441

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もちろん変わります

🐤

ひよ子

2018年05月11日 15:29

輪を左右に引っ張った時の面積は0に近いですよね、で上下に紐を広げて形を作っていったら段々と面積が生まれます紐の長さに変わりはないんですでも形で面積は変わりますぺたんこの袋～紙袋でマチがついたやつ、広げたら空間が生まれますね表面積がどうであろうと高さと幅と奥行きで体積は決まるんです紙コップだって表面積に変わりはなくとも高さと幅、奥行きに変化があったんで容積が変わったんです空気の抜けたボールを見たことないですか空気が抜けてるんだから体積は小さくなってますね表面積には変わりはないけど入っている空気の量は違ってますね空気をどんどん入れてボールが膨らんだら(素材は伸縮しないとして)ぺたんこのときより体積は変わってます理屈を言われても多分納得できないでしょうから実際にやってみたらいいんですよ紙袋で遊んでみましょう

トピ内ID：3467376075

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変わります

🙂

小学生レベル

2018年05月11日 14:55

外周が同じでも面積は変わります。簡単な実例で考えてみると納得できると思います。例えば一辺２センチの正方形と長辺３センチ、短辺１センチの長方形を考えます。どちらも外周は正方形＝２センチが４本＝２×４＝８センチ長方形＝３センチが２本と１センチが２本＝３×２＋１×２＝６＋２＝８センチで同じですが広さ（面積）は正方形＝縦×横＝２×２＝４平方センチ長方形＝縦×横＝３×１＝３平方センチで異なります。二次元で変わるのですから三次元でも変わります。例えば、一辺が２センチの箱（立方体）の、一つの面の中心から直径が１センチのボール（球体）の半分を、内側からくり抜いた立体と、逆に外側にくっつけた立体を考えてみます。どちらも、表面積は同じですが、体積は前者の立体は立方体の体積から球体の体積の半分を引いた値、後者の立体は立方体の体積に球体の体積の半分を足した値、となり、異なります。

トピ内ID：5247984393

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面積という概念

アリエル

2018年05月11日 15:52

貴女が書いた、ヒモの内側の広さは、面積という概念で表します。一辺の長さが1センチの正方形（真四角）の周りの長さは、4センチなのは解りますよね？この広さを一平方センチメートルと言います。広さを考える時、この1平方センチいくつ分に当たるか？が解れば違う形であっても、広さを正確に比べる事が出来ます。貴女が何となく感じた、＞線に近い楕円にしたら、中に入る量は少なくなるこれは正解です。貴女が例えに出した20センチのヒモで、高さ1センチの長方形（長四角）を作ったとしたら、両端の高さに2センチ、残りの18センチで上の辺と下の辺を作ればそれぞれ9センチずつになり、1平方センチ9個分の、9平方センチの長方形が出来ます。これが高さ2センチの長方形ならば、16平方センチになります。同じ紐で正方形を作った場合、一辺5センチの正方形を作ることが出来その面積は、25平方センチです。これが、円になると、ここまでよりも計算が難しくなるのですがざっくりとした計算でも、広さ28平方センチを超える円を作ることが出来ます。この様に、同じ外周の長さの中の面積は真円（まんまる）に近い程広くなります。体積にしても同じ事。ぺちゃんこにしてしまえば、表面積は同じでも、中に入る体積は減ってしまいます。ちなみに体積や容積の単位は、1立方センチメートルと呼びます。この程度の知識は、社会生活に最低限必要なレベルの事です。算数や理科だと思わず、今からでも理解できるように、頑張って下さいね。

トピ内ID：0760184554

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計算してみよう

ホームワーク

2018年05月11日 15:52

　算数の問題ですからまずは計算して確かめましょう。今半径rの円を考えます。この円の円周n,面積s1はそれぞれn=2πr,s1=πr2（2乗)となります。（小学校で習う公式ですね）この円を変形して正方形にしたとします。周の長さが2πrですから正方形の１辺の長さは2πr÷4,従って面積s2は 1/4(πr)2（2乗）となります。面積の大きさを比較するため、s2/s1を計算すると π/4となり1より小さな値となります。このことは正方形の面積は円の面積より小さい事を表しています。　周の長さが一定の時面積が最大となる図形は円である。事が知られています。トピ主さんが感じた直観は誤りだったと言えます。しかし直観は大事な要素です。どうか大事にして下さい。　3次元の場合も断面積が異なるので体積も異なる事になります。算数に関する問題は多くの場合計算することが出来ます。公式を忘れていてもネットで簡単に確認できます。疑問がわいたら計算してみることをお勧めします。

トピ内ID：0678700249

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長くなりますが

おじさんですが

2018年05月11日 21:59

一般的には、外周を変えずに形状を変えると面積は変わります。例えば外周20cmであれば、一辺5cmの正方形⇒面積25平方センチ 1cm×9cmの長方形⇒面積9平方センチ直径約6.37cmの円⇒面積は約31.8平方センチ一辺(20/3)cmの正三角形⇒面積は約19.2平方センチただし外周を変えずに形状を変えても面積が変わらない場合があります。例えば下底8cm、上底2cm、両脚5cmの等脚台形を考えます。正確に図を描けばわかる様に、高さは4cmになります。つまり外周20cm、面積20平方センチです。そして一辺5cm、高さが4cmのひし形も外周20cmで面積20平方センチですから、これらは同一外周で形状が異なるけれども同一面積の図形です。立体では、一般的には表面積が同じでも形状を変えると体積は変わります。例えばペットボトルの表面に製造不良で小さな出っ張りができたとします。当然ボトルの体積は増加しますが、出っ張りとまったく同じ形と体積を持つ窪みができたとすれば表面積は出っ張りの場合と同じで体積は減少します。ただし表面積を変えずに形状を変えても体積が変わらない場合があります。例えば2本の直立柱で、底面が同一外周で形状が異なる同一面積の図形かつ高さが等しい場合です。なぜならば表面積＝底面積×2＋底面の外周×高さ体積＝底面積×高さだからです。

トピ内ID：5519684974

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わかりやすく

レヒネン

2018年05月12日 11:20

長さ20cmのヒモで四角形を作ります。 5cm四方の正方形の面積：5×5＝25(cm2) 縦2cm・横8cmの長方形の面積：2×8＝16(cm2) 縦1cm・横9cmの長方形の面積：1×9＝9(cm2) ヒモの長さはどれも同じですが、面積は違います。三角形や円を作っても、紙コップでも鉄でも、同じことです。

トピ内ID：3563151206

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ありがとうございます

理系壊滅トピ主

2018年05月12日 15:54

トピ主です。おじさんですが様まで、14名もの方にレスしていただきました。ありがとうございます。私も義務教育は受けましたので、算数も、面積の求め方も習いました。今までは疑問に思うことなどなかったのですが、「結ばれた一本の線で区切った空間の量が変わるのはなぜなんだろう」と考えたら、今までは「そういうもの」と片付けていたいろいろなことが、不思議に思え、止まらなくなりました。自分の脳が心配です。みなさまがあげて下さった例や、教えて下さったことを、これから試したり調べたりして、納得したいと思います。ありがとうございました。

トピ内ID：7601120963

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かんたん解決

😀

ひもオトコ

2018年05月12日 13:02

＞なんとなく「外周が同じなら変わらない」気がするのですが、二点で引っ張り、線に近い楕円にしたら、中に入る量は少なくなる気もします。まず、３点Ａ，Ｂ，Ｃでできた三角形を考えましょう。正三角形だと何となく一番広そうに見えますよね。そのＡ点を固定して、ＢをＡから遠ざかる方向へ移動させると、Ｃ点はどんどんＡＢの線に近づいて、最後には線とくっつきます。そうなると面積ゼロ。Ａ固定でＣを動かしても最後にはゼロになる。つまり、最大の形と最小の形というものが存在するのです。最小の形は、くっついた線です。最大の形は、正三角形とか正四角形、つまり全ての線の長さが同じ形です。前述の点をどんどん増やしていくと（正○角形、丸の中は数をどんどん増やす）、角がだんだん緩やかになり円に近づきます。点の数が無限大になると形は円でになります。円が一番大きな面積です。

トピ内ID：2566612559

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これならどうでしょう

でんがら

2018年05月13日 14:53

その１逆に考えてみましょう。面積を一定としてその周囲の長さを考えます。具体的には、1辺が10ｃｍの正方形の紙があるとします。（色紙で考えても良いです）その周囲の長さは10ｘ4で40ｃｍです。半分に切って長方形になったものを横に並べてくっつけたとします。周囲は5ｘ2+20ｘ2で50ｃｍになります。面積は同じ紙ですので一定の100平方センチです。これは　くっつけた部分で5ｃｍｘ2で10ｃｍ減りますが、切ってできた部分が10ｃｍｘ2増えて差し引き10ｃｍ増えることになりますその２同じ長さのひもで輪っかを作ります。一方で○をつくり、もう一方の輪っかの形をへこませて（例えば星形にして）最初に作った○に中に入れることができますよね周囲の長さはおなじでも面積は形で異なるのです。つまり、周囲の長さと面積は形が同じなら、比例関係にありますが形が異なれば比例関係にあるとはいえない（関係が無い）のです。

トピ内ID：8665368313

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結構良い疑問と思います

🙂

ないしょ

2018年05月16日 17:32

ちょっと話が大きくなりますが、昔は時間の流れる速さは一定だと思われていたり、止まっている人の懐中電灯から出る光は光速（約秒速30万キロメートル）ですが、光速の半分で動いている人（秒速15万キロメートル）の懐中電灯から出る光は秒速45万キロメートルになるはずだ、と思われていたりしたものです。アインシュタインでさえ「神はサイコロを振らない」と言って、量子力学を認めなかったとかなんとか言われていますしね。かように人の「感覚」というのはえてしていい加減で、真実とはかけ離れている事が多いわけで、トピ主さんが「周長と面積」、「表面積と体積」に関してどうしてお互いが一定にならないのか？と「感じる」のは全く不思議でもなんでもないですね。そこで算数なり物理なりを駆使して、自分の感覚が正しいかどうかを確認し、自分の感覚がずれていたら納得がいかない！と思われるにしろ何にしろ、ま、そんなもんだと受け入れざるを得ないでしょう。簡単に言えば、混乱したとしてもそれはある意味当たり前、冷静に計算をして感覚と実際が違ったら受け入れましょう、ということでしょうか。実際の計算は沢山の人達が示してくれておりますのでそちらをご参照ください。

トピ内ID：2108956319

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面積でも体積でも

蚤に外套

2018年05月23日 13:03

外周がおなじなら、形がまるいほど、おっきくなる形が細長いほど、ちっさくなる

トピ内ID：2138444079

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確かに良い問題，疑問点ですね

🙂

あのね

2019年04月30日 10:27

　ないしょさんに賛成です．トピ主さんは数学者の才能があると思います．まず，２次元の簡単な例をあげておいて，それから３次元に拡張するあたりが素人じゃないですね．ちゃんと理系の勉強をされた方でしょ？トボロジーとか微分幾何学とかが得意な人なら，何かの定理を知っているかも知れませんが，実に良い問題ですね．　まずは，トピ主に従って２次元空間で考えると，ある面積を持つ図形と，それ以外の空間との境界は１次元でしょう．つまり，それがどんな形をしていても，Ｎ次元空間のある領域とそれ以外を隔てる境界は，（Ｎ－１）次元の曲線と言えます．その曲線の長さ，つまりノルムを固定しておいて，領域を変形させた時，領域のＮ次元面積（体積と言っても良いですけど）は，ある最大値を持ち，それは領域の形状について唯一の存在である．ってことが，トピ主がお考え中の問題でしょう？．う～ん，良い問題だぁ．ちょっと，ちゃんと考えますので，後ほど・・・・　

トピ内ID：4710290038

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２次元空間中のヒモの場合

🙂

あのね

2019年05月03日 09:45

　真面目に考えると難しい問題ですねえ．トピを読まなきゃ良かったと思ったりします（笑い）．最初にテーブルの上のヒモの場合です．この時の条件（拘束条件）は，ヒモの全長は変化しない，です．そしてテーブルの上に在ることで，反り返って空中に伸びたりしないことです．そして，自由に変形することが許されています．ヒモが変形する時，ヒモの中の領域の面積はどうなるかを，きちんと計算しないと話しが始まりません．面積を計算するために，まずはテーブルの上に基準点を一つ置きます．その基準点に，距離と方向を測定できる道具を持った人Ａが立っていることにします．それからヒモ上を一定速度で（歩いて）一周してくれる人Ｂが立っています．てくてくとＢが歩いて行く時，ＡはＡＢ間の距離と方向を測定し続けます．Ｂの速度をｖとすると，微小時間デルタｔに移動するＢの距離をデルタＬとすると，ヒモの中の面積Ｓは，Ｓ＝【周積分】｛デルタＬ｝で表せるはずですよね？．（数学のフォントは表示できないみたいなので，上の様に書いておきます．）このデルタＬを，ベクトルの外積を使えば，デルタＬ＝ＡＢ×デルタＬ＝ＡＢ×ｖデルタＴ外積は正になったり負になったりしますが，気にしないで積分してしまうと，基準点の取り方に無関係に面積Ｓが得られるはずですよね？．（Ｂは右回りするのが便利）で，ヒモの長さ一定で，形を変形させるなら，上の積分の式をヒモの形で微分すれば良いわけです．結果は，ヒモが円形をしているのが面積最大であって，それ以外は必ず円より小さい面積になるはず．３次元の場合は，形を持った立体と表面積に拡張すれば良い・・・と思ったのですが・・・　２次元に戻って，テーブルの上のヒモが８の字を描いていたら，上の計算方法は破綻します．メビウスの輪ってやつですね．続きます．

トピ内ID：4710290038

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紙コップは

🙂

あのね

2019年05月04日 12:32

　高校の数学の時間に，缶詰の缶の問題をやらされた記憶があります．　半径ｒ，高さｈの円筒形の缶がある．容積を最大にしながら，表面積を最小にしたい．ｒとｈの比率は？要するに，たくさん入る缶にしたいけど，使うブリキの量は少なくしたいということです．答えは忘れてしまいましたが，確かにスーパーに並んでいる缶の縦横の比率になっていて感動した経験があります．（それは，サバの水煮でした．）　３次元空間での，最も表面積が少なくて済む形は球ですけど，主はシャボン玉を膨らませることを想像してみては如何でしょうか？シャボン玉は表面張力によって引っ張られているので，表面積が最小になるように変形します．球は，その極限です．　ところで，主は紙コップの場合をあげてらっしゃいましたが，紙コップの様な形を変形させた場合，中の水は必ずしも溢れ出すとは限らないでしょう？紙が破れやすいので，実際にやるのは難しいですが，コップの内側から外に向かって変形させれば，もう少し水が入るようにできますよ．単に，外から中に押せば容積は減り，中から外に押せば容積が（多少）増えるとは考えられないですか？

トピ内ID：4710290038

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計算は苦手…

🛳

にらいかな?

2019年05月04日 14:15

私は航海士なので幾何計算が必須なのですが…苦手… 三角関数(球面含む)で航路や位置の計算と、積分で積荷や排水容積の計算はしますが… この問題の場合は、とりあえず… 竹串や爪楊枝を輪ゴムで束ねて見ましょう。輪ゴムの張力で束は丸くなるはず。表面が凸凹な串だったり、ゴムが緩い場合は、いびつになるかも知れませんが… 均質な材質のゴム風船を膨らませば球になるはず。 (大人が夜に使うゴム風船は実験に適しません…) これで実感できると思いますが… 説明や証明にはならないけど…

トピ内ID：6274133930

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地球は平らだ

🙂

りたいや組

2019年05月05日 19:03

多くの方々が数式で答えたりしてますが、主さんは感情をなんとかしてくれと言ってます。似たような問題で「地球は平らだ」と信じている人々がまだ多くいらっしゃるとか。地球が丸いことを体験するには飛行機や船で旅行しなければなりませんが、面積の問題ならこんなのはどうでしょう。 20cm程度の紐で円を作り、その中にパチンコ玉をぎゅうぎゅうに置きます。円の中の数を数えてから、紐を四角にしたり三角にしたりペチャンコにしたりしてパチンコ玉の数を数えて見て下さい。これなら広さを体感できると思います。 (あえてパチンコ玉にしたのは主さんにとってサイコロより身近だと思うからです)

トピ内ID：3669441609

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【駄】算数か理科のご質問（容積？）

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