ある業務の時間が上手くとれない

毎月、月末に終わらせないといけない業務があるのですが、その時期が近づくと1年目の私が7割くらい率先してこなしています。
業務自体は簡単ですが、他にも仕事はありますし、その業務だけに時間を費やせません。いつも自分なりに時間を見つけてやっているのですが、先輩から◎◎をやっておいてくれる？と仕事を振られます。
他にやらないといけないことはあるのかと尋ねてもらえたり自分からも言う時がありますが、その業務だと知ると(指示される業務の方が優先順位が高めなので)それは後でいいよ、と時間を取れません。終業後残って終わらせようかと思うのですが先輩が｢(新人が残業したら)私が怒られるから｣と言って残らせてもらえません。

直属の上司(職種が違うので業務内容も把握しきれてないかと、、)に言うべきでしょうか？
それとも時間の見つけ方が下手なのでしょうか？