再就職 雇用契約書をもらっていません

トピを開いていただきありがとうございます。
主人が6月に会社都合のリストラで退職しました。
その後、ハローワークで探して紹介を受けた会社に9月末に
正社員で再就職が決まりました。

現在、新しい会社で勤務して約3ヶ月経ちますが、
雇用契約書をもらっていません。こちらから特に申し出なくても渡されるものと
思っていたのですが、忙しかったのもあり、約1ヶ月後にもらってない事に気付きました。
3ヶ月経ってしまったのは、3ヶ月が試用期間中なので仕事ぶりを見てもらってからと思っての事です。

前職が派遣だったので、正社員の方にお聞きしたいのですが、
雇用契約書をまだいただいてないのでお願いしますと社長にお願いしてもよいでしょうか？
内容は、採用時のハローワークの内容に沿ってほしいです。
また、契約書には、雇用形態が正社員である事の記載は入りますか？