会社が辞めさせてくれません！！！

ほんと困ってます！ 契約社員だけど、契約先の会社から他の会社へ、委託されてる派遣女です。 元々【6月初旬】に辞める予定でしたし、そう契約も結びました。 しかし先日、自分では「到底無理！」と思った企業の内定をいただきました。 【5月入社】とのことです。 もちろん「退職日以降じゃなきゃ無理」との旨伝えましたが、 「そうであれば他にいくらでも応募者はいるので辞退してください」 といわれました（確かに人気企業ですし面接者も多かったです） 大学も出ていなく、事務ばかりしていた女が、こんな人気企業に入れるなんて、 本当に夢みたいで思いがけないチャンスだと思いました。絶対に入りたいです。 しかし今勤めている会社が 「6月初旬で辞めるって契約だったでしょう？社会なめてるの？」と… 確かにそうなんですが、私の仕事はほとんどなく、1日パソコンの黒い画面を見てるだけの日もあります…。 正直私なんていなくてもいいと思うんですが、 「あなたとうちの会社だけの契約ならともかく、こっちは会社と会社の契約をしているから、とにかくダメ」とのこと。 どうしたらいいでしょうか？