グリーンが枯れてきてしまいました(泣)

お気に入りのグリーン(ドラセナ)が、枯れてきてしまいました(泣)

秋頃に、幹の根元が黒くなっているのに気づいたのですが、寒い時期を前に切り取るのはためらわれたので、春まで様子を見ようと思い、そのままにしていました。
が、しかし…どんどん葉が落ちてきて、このままでは枯れてしまいそうな雰囲気です…。

今からでも、腐った幹を切り取るべきでしょうか？

観葉植物に詳しい方、アドバイス頂けると助かります。
宜しくお願いします。