契約満了と転職活動

3ヶ月更新の派遣で働いています。6月末までの契約更新はしてもらえたのですが、7月以降はほぼ90％更新なしだろうと派遣先の上司に言われました。
仕方のない事情なのでこの件について不満はないのですが、早速次の仕事探しもしなくてはなりません。でも一応契約期間一杯までは働いた方がいいんですよね。これは派遣会社の担当者にも言われました。ただもし次の仕事が見つかって、辞めるのが1～2週間早まるのは仕方ない、派遣先に掛け合ってみるとのことです。

契約更新なしと事前通告された派遣社員の皆さんは、どのタイミングで動くのでしょうか？（求職活動）
一応ハローワークにも行っていますが、すぐに入社できないと応募するだけ無駄かな？とためらってしまいます。