異動直前に好きな人が職場内に・・

30半ばの男性です。自分の異動を目前にして、日に日に好きな感情を募らせている女性がいます。
同じ職場内なので一緒にいるのもあと一ヶ月もありません。
もちろん片思いですが、もはや自分の想いを告げずに異動するのができないほど自分の中では想いが膨らんでいます。

意識するようになったのは比較的最近です。
悔やまれるのは元来無口な自分の性格かも知れません。あまりその人と会話してきませんでした。その人に限らず、女性とのコミュニケーションはあまり上手な方ではありません。最近は流石に焦って、挨拶だとか何かとかこつけて会話するよう頑張っていますが、いかんせん時間がなく自然な感じで親しくなる事はもう無理と悟りました。

そこで短い手紙に自分のメールアドレスを記し、手渡す作戦を考えています。
発言小町の恋愛マスターな皆様に教えていただきたい事は・・

１、手紙の中の文面でいきなり「今度食事にいきませんか？」と書いてしまうのはどうでしょうか？あまり話らしい話さえしたことのない相手に身構えさせてしまう懸念があるのですが。かと言って、「連絡下さい」というような内容で連絡先だけ記しても連絡をもらえる気がしません。他に何か気の利いた誘い文句などあれば教えていただきたいのですが。
２、手紙はやはり手渡さないと駄目でしょうか？
職場内での仕事中、なかなかタイミングに恵まれません。それにいざその人を目前にしたとして情けない話、渡せる勇気もちょっと怪しいです。
その人のメールボックスがあるのは知っています。最悪、そこの中に手紙を紛れ込ませる事もやむを得ないかと思っていますが、やはり手渡しが良いのでしょうか？
あるいは職場内の他の女性にその人に渡してもらうよう頼むというのは御法度でしょうか？
どうか良きアドバイスをいただきたく存じます。