自転車同士の衝突。その後の対応について。

トピを開いてくださいまして、ありがとうございます。

本日、自転車同士で、出合い頭、衝突をしてしまいました。
当方が直進、先方が右折際に、衝突。
幸い大きな事故ではなかったのですが、警察を呼び、お互いの連絡先を交換して別れました。

また、先方は「大丈夫だ」と仰っていたのですが、多少出血していました。（数分後には止まりました）
その際に、先方の持っていたハンカチで止血していたので、ハンカチが汚れてしまっています。

そこで伺いたいのですが、
こちらから、事故のお詫びの品、及びハンカチを汚してしまったお詫びの品をお持ちしたほうが良いのでしょうか？

先方は「気にしないで」と言ってくださっています。
また、お互いの不注意だと思う今回の事故、たまたま出血したのが先方のみだった、とも思うのです。

事故に関しては反省しております。
ただ、一般的にこのような場合、再度改めて謝罪に伺ったほうが良いのか、
逆に先方に気を遣わせてしまうことになるのか、
皆さまのご意見をお聞かせください。

最後になりましたが、トピを立てるのが初めてのため、不手際がございましたら申し訳ありません。
どうぞよろしくお願いいたします。