世帯分離の手続と国民年金・国保の減免申請について教えて下さい

私は30代の独身女性です。アドバイスをどうかよろしくお願い致します。
去年秋に試用期間中に解雇されてから、正社員・非正規雇用を問わず毎日
再就職活動を続けているのですが、雇用状況が極めて厳しい中、短期の
仕事は何回か決まるものの、いまだに常勤・フルタイムの仕事に就く事
ができず（最近内定をもらいましたが内定切りされました）、恥ずかしい
ですが、最近は医療費や国民年金・国保を親に支払ってもらっています。
ちなみに昨年度の私の収入は、100万円以下です。
前置きが長くなりましたが、質問したい事は以下の2点です。

1定年退職した親への経済的負担を何としても減らしたいのですが、
世帯分離の手続きを行うと、国民年金などの税金が減額されるという話を
最近になって知りました。私の現在の状況で世帯分離を行う事はできるで
しょうか。
2国民年金・国保の減免申請も行いたいのですが、世帯分離の手続きと
国民年金・国保の減免申請を同じ日に行う事はできるでしょうか。

現住所では父が世帯主で、長年勤めた会社を今年定年退職し、同時に
再雇用されて契約社員として働いています。そして専業主婦の母、私、
会社に勤務する弟の4人で住んでいます。去年秋に解雇された時、税金
負担を何とかして減らしたいと思い、国民年金や国保の減免を申請した
のですが却下されました。その時点では父はまだ定年退職しておらず、
正社員として働いていました。
父・私ともに持病があり病院に定期通院しているため、毎年の確定申告
時に父の名義でまとめて医療費控除を行い、さらに現住所の住宅ローン
が残っています。
また国民年金・国保に加入しているのは私だけで、父や弟は在籍する会社
の厚生年金や社会保険に加入しています。
現在、父は非正規雇用として勤務しているものの、会社の状況などを考え
ると、働けるのはあと1～2年ぐらいとの事です。