ナッシュ均衡って？

レス13

（トピ主 2 ）

クレー

2010年08月20日 10:52

話題

こんばんは。
今ここで「行列力学」のトピックが出ていて、はーその道に詳しい方々が見て答えてるんだ～って感心して、自分も以前から『？』だったものを質問したくなり、トピ立てしました。

数か月前のこと、TVで『ビューティフル・マインド』を見ました。
ラッセル・クロウ演じるところの主役、統合失調症のジョン・ナッシュの大学入学からノーベル賞受賞までを描いた映画で、なかなか面白いものでした。（脱線：どうも私は天才を描いたものに魅かれるようで…『グッド・ウィル・ハンティング』とか。）

で質問です。宜しくお願い致します。
そのノーベル賞受賞の対象となった、数学の理論とはどのようなものなのでしょうか。ネットで検索をかけると「ナッシュ均衡」、現代の経済学や環境理論での基礎をなす数学理論の重要なものひとつ程度の理解しか得られませんでした。（何か、行列やら確率・統計に関する数式による説明がされていましたが、私の理解の範囲を超えている…）サルにもわかる「ナッシュ均衡」教えて下さい。

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馬（私）でも解るナッシュ均衡（概念のみ）

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景気循環

2010年08月21日 15:30

レスが付いてないので勉強中の夫に聞いてきました。私が上手く説明できると良いのですが・・・・。ナッシュ均衡とは元々ゲーム理論に関連した考えで、一番単純に二人の人がカードで遊ぶ状態を考えてください。ゲーム理論とは「お互いに相手の行動を予想した状態で、相手との駆け引きでいかに自分が望む状態の結果にするか」と言う戦略です。お互いに相手の出方によって自分への結果も変わります。ＡさんとＢさんがいます。お互い同じ1からＫｉｎｇまでのトランプを13枚づつ持っており、相手と同時にそれぞれ手持ちのカードの内、一枚だけを見せ合います。見せるまで一切お互いに相手の出すカードは分りませんし会話も出来なません。Ａさんは「Ｂが1なら僕は3・・・」とＢさんの出す各カードの対してＡにとって一番好ましい組み合わせのカードがそれぞれあり、Ｂさんの各カードの対してＡさんの一番都合のよいカードがそれぞれ存在すると考えます。Ｂさんにも「Ａが3なら俺は1・・・」のようにＡさんの各カードに対する自分に好ましいカードがあります。続く

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続きです　その1

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景気循環

2010年08月21日 15:30

　Ａの戦略はＢは1なら僕は3を出そう→Ｂ1－Ａ3、以下Ｂ2－Ａ6、Ｂ3－Ａ5・・・・ＢＫｉｎｇーＡ4などで、ＡがＢを予想して出す数は、Ａの独自の理由があると考えて下さい。Ｂの戦略はＡが3の時にはＢは2を出すつもり→Ａ1－Ｂ7、Ａ2－Ｂ8、Ａ3－Ｂ1・・・ＡＫｉｎｇーＢＪａｃｋなど、相手の出すカードによって、自分にとって最も都合の良いカードが存在するわけです。お互いが相手の出すカードそれぞれに対する自分に最も都合のよいガードを切る状況を設定すると、　Ａ－3とＢ－1の組み合わせに関してのみ、Ａの切るカードとＡがＢに期待するカード、Ｂが切るカードとＢがＡに期待するカードが同じになる状況が出てきます。これが「均衡」と呼ばれる状況で、お互いに満足してこれで良しって思って安定していますから動きません。しかし、お互いが予想外のカードを切ってきた場合は、Ａ－3のＢ－1になるまで、カードを切り続ける事になります。出すカードを変え続けているうちは、均衡した状態とは言えません。続きます

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続き　その2

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景気循環

2010年08月21日 16:24

不均衡の例を出して見ます。不均衡な場合は、Ａさんが「Ｂさんは5を出してきたら自分は7を出そう、またＢさんが10を出すなら自分は6を出そう」と考えている一方、Ｂさんは「Ａさんが7を出してきたら10を出そう」と考えている場合です。Ａさんが、まずＢさんが５を出すと予想して7を出し、ＢさんはＡさんが7を出すと予想して自分は10を出す場合は、Ｂさんの予想が当たっているのでＢさんは満足ですが、Ａさんは外しているので不満です。何故なら、Ｂさんの10に対してＡさんにとっては6を出すのが一番良いので、Ａさんはこの結果に不満なので満足する結果を得るまでカード出しは続くわけで、この両者が満足していないためカードを出し続けている状態は不均衡な状態と言えます。つまり、両者とも予想が当たって結果に満足する事が均衡、どちらかの、もしくは両方の予想が外れて結果に満足できない人がいるため、カードを出し続ける状態を不均衡と考えます。大まかですが、御理解頂けるでしょうか。数式無しの説明だと、抜け落ちてるポイントも大変多いのですが、こんな感じになります。拙い説明で申し訳ないのですが、お役に立てば幸いです。

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簡単なとこを　その１

コペン

2010年08月21日 19:39

ナッシュ均衡とは、全てのプレーヤーが、他者の戦略を前提にしたとき、最適の戦略をとっており、自分一人戦略を変えても損するだけなので、その状態で安定する、そのような戦略の組み合わせのことです。例えば、日本と中国がそれぞれ自由貿易を行うか、保護貿易（自国産業の優遇）に走るか、という二択の戦略を持っているとしましょう。日本と中国の戦略の組み合わせは以下の４通りになります。数字は両国の経済的利益と思ってください。日本が自由貿易、中国も自由貿易 a.日本：１２０　b.中国：１２０日本が自由貿易、中国が保護貿易 c.日本：３０　　d.中国：１４０日本が保護貿易、中国が自由貿易 e.日本：１４０　f.中国：３０日本が保護貿易、中国も保護貿易 g.日本：５０　　h.中国：５０日本が自由貿易を行ったとき、中国の選択肢はbかdですが、より利益の大きいd、つまり保護貿易を選択するのが最適の戦略日本が保護貿易を行ったとき、中国の選択肢はfかhですが、より利益の大きいh、つまり保護貿易を選択するのが最適の戦略結果、日本の戦略にかかわらず、中国は保護貿易を選択します。続きます

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簡単なとこを　その２

コペン

2010年08月21日 19:39

中国が自由貿易を行ったとき、日本の選択肢はaかeですが、より利益の大きいe、つまり保護貿易を選択するのが最適の戦略中国が保護貿易を行ったとき、日本の選択肢はcかgですが、より利益の大きいg、つまり保護貿易を選択するのが最適の戦略結果、中国の戦略にかかわらず、日本は保護貿易を選択します。両国の戦略はともに保護貿易となり、自国一国が自由貿易を選択しても損するだけですから、両国とも戦略を変更しようとは思わず、この状態（g, h）で安定します、これがナッシュ均衡。両国とも自由貿易を選択すれば、両国ともより大きな利益（a, b）を得られるにもかかわらず、そうではない戦略（g, h）で安定する、こういうことが起こり得る、これがナッシュ均衡の面白さかと。なお、『ビューティフル・マインド』の、誰もブロンド美女を口説かず、皆で容姿の普通なブルネットの女性たちを口説くのが最適、というバーのシーン、これはナッシュ均衡になっておらず、有名な話ですが、あの説明は間違いなんですよね。今回の例で言えば、両国自由貿易（a, b）という組み合わせがナッシュ均衡、と言っているようなものですから。

トピ内ID：7201368164

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トピ主です。回答ありがとうございます。

クレートピ主

2010年08月22日 16:57

あ～もう流れていくのか～と半分諦め、諦観していました。 ★景気循環さん ★コペンさんありがとうございました。ところで、コペンさん、映画のバーの場面を引いて例示して下さっていましたが、あの場合、「ナッシュ均衡」とはどのような状態のことを言うのでしょうか。理解力が低くてスミマセン。

トピ内ID：3979809448

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＞バーのシーンにおけるナッシュ均衡　その１

コペン

2010年08月23日 12:20

繰り返しになりますが、ナッシュ均衡とは、全てのプレーヤーが、１．他のプレーヤーの戦略を前提にしたとき、２．最適の戦略をとっており、３．誰もその戦略を変更しようとは思わず安定した状態となる、そのような戦略の組み合わせです。（説明を分かりやすくするため番号を振りましたが、本来２と３は同じことです）１．あの映画でのナッシュの言うとおり、あなた以外の全てのプレーヤーが、ブロンド美女ではなく、ブルネットの女性たちを口説くという戦略を取ったとしましょう。２．他のプレーヤーのそのような戦略を前提としたとき、あなたも同様にブルネットを口説くのが、あの映画でのナッシュが言うとおり、最適の戦略なのでしょうか？そうではありません、あなた一人だけがブロンド美女を口説くのが最適の戦略です。なぜなら、あの映画で、ナッシュがブロンド美女を口説くべきでないと言ったの理由は、あくまで「みんながブロンドを争えば、お互いに邪魔をし、誰も彼女をものにできない」からであり、他のプレーヤーが全員ブルネットを口説く戦略を取っている限り、ブロンド美女を口説くのに何の問題もないからです。続きます

トピ内ID：7201368164

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＞バーのシーンにおけるナッシュ均衡　その２

コペン

2010年08月23日 12:20

３．そして、この状態は誰も戦略を変更しようとは思わず安定します。まず、あなたにはブロンド美女を口説けるのに、それをせず容姿の平凡なブルネットを口説く戦略に変更する理由などありません。（これはゲームから脱線してしまいますが、ブロンドを口説き落とすのに失敗した後で、ブルネットへと方向転換しよー、とかズルいこと考えちゃ駄目ですよ、なぜならあの映画には「誰もセカンド・チョイスになんかなりたくないから、彼女たち（ブルネット）は僕らを無視する」という前提があるので、ブロンドを口説いた後ではブルネットを口説き落とすことできませんので）そして、他のプレーヤーも、あなたがブロンド美女を口説くという戦略を前提としたとき、複数がブロンド美女を口説いてもお互いに競合し、誰もブロンド美女を口説き落とせないことを知っており、ブルネットという戦略を変更しても損をするだけですから、この戦略で安定します。結果、全てのプレーヤーが、他のプレーヤーの戦略を前提にしたとき、最適の戦略をとっており、誰もその戦略を変更しようとは思わず安定した状態ですので、この戦略の組み合わせがナッシュ均衡です。続きます

トピ内ID：7201368164

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＞バーのシーンにおけるナッシュ均衡　その３

コペン

2010年08月23日 12:20

ただし、注意していただきたいのは、このケースにおけるナッシュ均衡の組み合わせは一つだけではないということです。もし他のプレーヤーの一人がブロンド美女を口説く戦略なら、当然、あなたを含む彼以外のプレーヤーにとって最適の戦略はブルネットを口説くことであり、この組み合わせもまた同様にナッシュ均衡となります。このようにナッシュ均衡はプレーヤーの人数分、複数存在することになります（厳密には、これは純粋戦略におけるナッシュ均衡という但書が必要なのですが、細かい話ですので…　ご了承ください）。そして、このように複数のナッシュ均衡が存在する場合、どのナッシュ均衡が実現するのかは理論的には分かりません。結局、このケースでは先手必勝、一番最初にブロンド美女を口説いたプレーヤー以外はしぶしぶブルネットを口説く、という感じでナッシュ均衡に至るものと思いますが。長くなりましたので、この辺で。

トピ内ID：7201368164

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宜しければご教示ください。

🙂

よしお

2010年08月24日 10:27

コペン様この分野に関しては全くの素人ですので、興味深く拝見させて頂いております。ヨコで申し訳ないですが、宜しければご教示下さい。ということは、ナッシュ均衡の理論には予言能力がない思って良いということでしょうか。つまり、複数のナッシュ均衡が存在する場合には、どの均衡が実現するか「決して」予言できないのでしょうか。あるいは、それぞれの均衡の実現確率を理論的に計算はできないのでしょうか。私が身を置く分野でも似たようなことがあります。現状では唯一の統一理論の候補である超弦理論には、安定な真空が "無限個" 存在することが知られており、しかしながらどの真空が選ばれて我々の宇宙になっているのかが今のところ決められません。予言能力がないということになります。まぁそれを逆手にとって（個人的な見解では逃げ口上で）Landscape なんて考え方が出てくるのですが、この点が超弦理論に対する批判の根拠の一つになっています。そして超弦理論がノーベル物理学賞を獲れない理由の一つにもなっているでしょう。一方でナッシュ均衡の理論は獲りましたので・・・ということで、とても気になります。

トピ内ID：2836661238

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トピ主です。ありがとうございました。

クレートピ主

2010年08月24日 21:16

★コペンさん再度のご回答ありがとうございました。あのシーンでは人数分のナッシュ均衡があるんですね。ありがとうございました。

トピ内ID：3979809448

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＞よしお様

コペン

2010年08月25日 11:39

まず、どの均衡が実現するか予言できるのであれば、一つの均衡に絞り込まれたことになり、もはや複数のナッシュ均衡は存在しないことになります。ですので、複数のナッシュ均衡が存在するならば、どの均衡が実現するのか事前に予測はできない、というのが教科書的な答えです。問題はどのようなケースでも一つのナッシュ均衡に絞り込むような精緻化が可能かどうかですが、このような複数均衡の問題は、ナッシュの業績の範囲内はもちろん、現在に至っても明確な答えは示されていない難問です。ただ、昔から盛んに研究されている分野ですし、随分進歩してきたのも事実で、特に９０年代に入ってから誕生したグローバル・ゲームと言われる新しい理論は、通貨危機など極一部の分野に限定されはしますが、複数均衡の問題に解答をもたらしとのでは？と言われたりしています。＞そして超弦理論がノーベル物理学賞を獲れない理由の一つにもなっているでしょう。＞一方でナッシュ均衡の理論は獲りましたので・・・ということで、とても気になります。単に、スウェーデン銀行賞よりノーベル物理学賞の方がハードル高いだけではないかと…

トピ内ID：7201368164

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コペン様

🙂

よしお

2010年08月26日 17:37

日本語として「複数の均衡」と言った時点で、本当にどれが選ばれるか分からないことを意味してしまうんですね。超弦理論の場合には、我々の宇宙（＝標準模型）が選ばれているハズだ、という答えが先に分かっていますので（正しい答えが非自明な仮定なしに出るかどうかを議論しますので）、ナッシュ均衡でもそうなのかと思っていました。かなり雰囲気が掴めてきたと思います。ありがとうございました。

トピ内ID：2836661238

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