確率ゲーム？

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ネ子

2005年04月19日 02:10

話題

先日飲み会で出た話題なのですがそれ以来どうも気になっています。『あなたは賞品として車をもらえるゲームに参加しています。目の前に３つドアがあり、そのうちの一つは、後ろに車、あとの２つは後ろにヤギが隠されています。車が隠れていると思うドアの前に立ってください。そこで、ゲームの司会者（どのドアが車でどれがヤギか、知っている）が、ヤギのドアをひとつ開けて、全員に見せます。あなたが選んだドアは開けません。この後、あなたはドアを替えることができます。替えなくてもいいのです。最終的に選んだドアの後ろに車があれば、その車をもらえます。』という筋書きで、問題は、『さて、ここでドアを替えた方がいいのか？』ということなのですが、確かそのとき話題になっていた答えは、『替えた方が車が当る確率は高い』だったのです。ドアのひとつがヤギとわかった時点で残りの２つは五分五分になるんじゃないかという気がするのですが… なぜ替えた方が確率は高いといえるのか、また、これは数学のひっかけで、結局答えは五分五分なのか、どなたか教えてください。

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変えた方がよい・・・らしい

tan

2005年04月22日 21:58

この話どっかで読んだなーと思い捜してみたら、ありました。賢いはずのあなたが、なぜお金で失敗するのか　　ベルスキー著　日本経済新聞社　Ｐ125　に解説も書かれています。どこかで、この本を見たら読んでみるといいでしょう。簡単に説明すると、最初に選んだドアに自動車が入っている確率は1/3です。司会者がヤギのドアを開けたあと、残ったドアに自動車がある確率は1/2です。最初のドアは1/3で、残ったドアは1/2。だから変えた方がよい、という結論です。＜ドアのひとつがヤギとわかった時点で残りの２つは五分五分になるんじゃないかという気がするんですけどね、最初に選んだとき1/3だった確率は、あとからドアが開けられても変わらないのです。「3つのなかから選んだ」ことは変わりないので。あるいは。選んだドアがヤギの確率は2/3。このとき司会者は必ずヤギのドアを開けるから　残ったドアは100％自動車です。2/3の確率で変えた方が有利なのです。

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変えた方が有利

数学屋

2005年04月24日 01:46

変えた方が有利です。この問題の肝は、「司会者はどれに車が入っているか知っている」というところに尽きます。司会者がどれに車が入ってるか知らずに、無作為にドアを開け、車が入っていたら「残念でしたー」で終了することもある。しかしたまたま今回はヤギだった、というケースなら、 >ドアのひとつがヤギとわかった時点で残りの２つは >五分五分になるんじゃないかという気がするのですが… これは完全に正しいです。最初に自分が選んだドアをＡ、残り２つを便宜的にＢ、Ｃとします。この時点では車がＡ、Ｂ、Ｃどれに入っているかは1/3ずつです。司会者は車がＢに入っている場合はＣ、Ｃに入っている場合はＢを開けます。そして最初に当たりを引いていた場合は、仕方ないから司会者はＢ、Ｃいずれかを無作為で開けます。つまり、当たりがＡで、司会者がＢを開ける : 1/6 当たりがＡで、司会者がＣを開ける : 1/6 当たりがＢで、司会者がＣを開ける : 1/3 当たりがＣで、司会者がＢを開ける : 1/3 となります。司会者がＢ、Ｃいずれを開けたとしても、変えたほうが有利ですね。

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１／２に決まってます

騙しちゃダメですよ

2005年04月24日 17:27

tanさんはトピ主さんをからかっているのかな？そうでなければその本にからかわれていますね。論理の破綻に気付きませんか。 ”最初に選んだとき1/3だった確率は、あとからドアが開けられても変わらない” にもかかわらず、なぜ司会者が羊のドアを開けた後 ”残ったドアに自動車がある確率は1/2”に変わるのでしょうか？ドアを開けた後に、変えるか否かという選択を行うことは ”「２つのなかから選んだ」ことに変わりない”ので確率１／２となりませんか？引っかけ問題に騙されちゃいけません。司会者がドアを開けた時点で、確率は１／２に変わるのです。最初に選ぶ時点の確率１／３というのはその通りですが、そこでファイナルアンサー！とやらないのでその後の選択には無関係です。ドアの前に立たせることで１／３で選んだような錯覚を起こさせるわけです。蛇足ながら、もしあなたが最初に羊の前に立った場合に、司会者がそのドアの方をを開けてくれる、というのなら話は別ですよ。この場合なら、２回とも外れる確率が１／３（＝２／３＊１／２）なので２／３で当たりますけどね。

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ごめんなさい。訂正

tan

2005年04月24日 22:55

最初のレスをしたものです。＜残ったドアに自動車がある確率は1/2です。最初のドアは1/3で、残ったドアは1/2。って書きましたが、残ったドアに自動車がある確率は2/3･･･だと思います。紹介した本にも、はっきりとは書いてないので、よくわからないのですが。失礼しました。

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これでどうだ！

極端

2005年04月25日 18:17

ドアが100個あったとしましょう。この中に当たりは一つあなたがドアを選んだ後司会は残りの98個を開けます。全て外れです。残ったドアは２つ。＞ドアのひとつがヤギとわかった時点で残りの２つは五分五分になるんじゃないかという気がするのですが… やっぱりドアが２つだったら確率は五分五分だと思いますか？

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移動すれば２/３

かぐら

2005年04月25日 20:03

　ドアを移動しない場合は、最初に選択した確率のままですから、車の確率１/３です。　では次にドアを移動した場合の確率を考えてみましょう。１：最初に車を選んだ場合　こうなる確率は１/３です。　この場合にドアを移動すると、必ずヤギのドアを選ぶことになります。　２：最初にヤギを選んだ場合　こうなる確率は２／３です。　司会者はもう一方のヤギのドアを開けるので、残ったドアは車です。　つまり、ドアを移動すれば必ず車に移動することになります。　つまり移動する場合、最初に車なら必ずヤギに、逆に最初にヤギなら必ず車に移動することになります。　そして最初にヤギを選ぶ確率が２/３ですから、移動した場合はそれと同じ確率…、つまり２/３の確率で車を選ぶことになります。　移動しないときは１/３、移動したら２/３ですから、移動した方が絶対に有利ですね。

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すみません 3回目

tan

2005年04月25日 21:01

２つ目、３つ目の投稿を読む前に、２回目を書いてしまったので、もう一回補足します。「残ったドアに自動車がある確率は1/2です。」は、もうホントに間違いでしたね。お二方の説明を聞いて納得しました。かえって混乱させてしまったようで済みませんでした。残ったドアの確率は2/3だと思います。数学屋さんの説明を借りれば、当たりがＡで、司会者がＢを開ける : 1/6 当たりがＡで、司会者がＣを開ける : 1/6 当たりがＢで、司会者がＣを開ける : 1/3 当たりがＣで、司会者がＢを開ける : 1/3 当たりがＢであってもＣであっても、司会者がはずれを教えてくれるので、ドアを変えれば必ず当たります。ドアを変えない場合は、Ａに入っているときだけ（1/3）当たり、ドアを変えれば、ＢまたはＣに入っているときに当たる（1/3+1/3=2/3）･･･と考えたのですが、確信が持てないので、教えていただけるとうれしいです。

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替えなくてもいい

たえたえ

2005年04月25日 22:22

ただ単に、少しだけ当たりやすくなっただけでしょう。替えても替えなくてもどちらかがヤギでどちらかが車です。レトリックに惑わされると本質から離れます。替えたら当たる確率も1/2、そのままで当たる確率も1/2です。

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三択が二択になるだけ

フィフティフィフティ

2005年04月26日 00:02

数学的名な証明は誰かが懇切丁寧にやってくれてるでしょうから省略。このトピ、釣りじゃあるまいしそこまで低脳ってことはないだろうし、本気で書いているのか、どうしてそうなるか、と訝りながら私の職場でアンケートをしてみた。結果、トピ主さんおよび最初のおふたりのレスと同じ答えのオンパレードで、正解は私の上司だけ。正解率１０％以下。うちの会社も長くないなと悲観し、現在私は転職を大真面目に考え始めています。このトピにありがとう。

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変えたほうが有利です。

ぱぼ

2005年04月26日 00:06

司会者が正解を知っいてドアを開けた場合は、変えたほうが有利です。もっとドアの数を増やして考えるとわかりやすくなります。ドアが１００個あって、そのうち１つにだけ車が入っています。あなたはドアを１つ選びました。車が入っているドアを知っている司会者は、あなたの選んだドアとそれ以外もう１つのドアを残して、９８個のドアを開きました。もちろん、その９８個のドアは全部ヤギでした。さて、あなたがはじめに選んだドアと、司会者がもう１つ残したドアとどちらが有利でしょう？

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ドア変えるべし

みなみ

2005年04月26日 06:20

自分が選んだドアは1/3の確率でしか当たりませんが、司会者が一つにしたドアは2/3の割合で当ってます。なので別のドアを選ぶのが正しいです。これはドアが3つしかないからわかりにくいのですが、今度はドアを100個にして、似たようなルールで最後に二つのドアだけを残すようなゲームに拡張してみてください(98個のはずれドアを司会者が開けて二つにする)。こうすると自分が最初に選んだドアの当たりの確率は1/100なのはすんなり分かると思います。これを二つにするということは、自分のドア(確率)はそのなままなのに、ほかの全部のドアをひとつにして、すなわち99個のドアをひとつにした新しいドアを作ったということです。99個のドアを一つにしたのでそちらが当たる確立は 99x 1/100=99/100 です。基本的にドアが3つでも一万個でも同じことですが、三つの場合は、1/3の二つのドアを一つにまとめて2/3で当たっているドアを作ったと考えればいいのです。なので、変えた方が当たる確率ははるかに高いでしょう。

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司会者のドアは2/3の確率で、あなたのドアは1/3

まりも

2005年04月26日 10:03

の確率なので、司会者の残したドアに乗り換えるべきです。なぜでしょうか? 司会者は「当たっていないドアを任意に開けることができる」のが曲者です。ゲームに参加してる人が外れ、当たりのいずれの前に立っていても、司会者は残ってる二つのうち当たっていないドアを開けることができます。したがって、彼が持っている二つのドアのうちどちらに当たりがあろうかなかろうが関係なく外れのドアを開けることができます。従って彼がドア見せようが見せなかろうが、あなた前にあるドアが当たっている確率は変化しません。考え方をちょっと変えましょう。司会者は二つのドアをまとめて一つにしただけです。なので、司会者の残したドアは2/3の確率で当たってます。これ、三つだと分かりにくいけど、例えば10個のドアに拡張して、司会者が八つの外れドアを開けて一つだけ残すというルールにしたら分かるかな? 自分が最初に選んだドアの当たりが1/10だけど、司会者が同じことやって一つだけ残したらそっちの方が当たる確率は高そうだって、直感的に分かると思うけど。

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１／２じゃありませんよ～

あみママ

2005年04月26日 12:46

コインを３枚用意してください。　○　○　○ ひとつのコインの裏に印をしてください。　Ａ　Ｂ　Ｃ　●　○　○ Ａのコインが「当たり」だとします。誰かに一枚選んでもらいます。選んだコインが「当たり」である確率は１/３です。選ばれなかったコインのうち、ＢかＣのいずれかを除きます。　○　○ どちらかが「当たり」ですが、最初に選んだコインが当たりである確率は１/３です。ですから、変えたほうが有利なのです。わかりにくいですか？では、コイン１０枚で考えてみましょう。　●　○　○　○　○　○　○　○　○　○ 一枚選んでください。そのコインが当たりである確率は１/１０です。８枚減らします。　○　○ どちらかが当たりですが、最初に選んだコインは９割がた、はずれです。変えたほうが、当たる確立が高いですね。

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替えたほうが有利ではなく

いちご

2005年04月26日 15:27

替えたほうが有利ではなく、替えるかどうか悩んだ方が有利の間違いでしょう。新しく選びなおした方が確率が高くなります。

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あっ、もしかして

いちご

2005年04月26日 15:44

最初にヤギを選ぶ確率は2/3、その場合扉を替えれば当たり。最初に車を選ぶ確率は1/3、その場合扉を替えればはずれ。よって替えた方が確率は倍ということですか？

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＞極論さん

文系ですが

2005年04月26日 17:44

極論さんの例の１００個のドアですが… どしょっぱなに選んだドアが、たまたま当たる確率は、たった１／１００ですよね。でも残りの９９個のドアは、正解を知っている司会者が１個に絞ってくれるので、９９個の中で唯一残ったドアの方が確率が高いと思うのですが…。私は文系人間なので、あまり自信はありませんが、ドアを変えた方が確率が高いと思います。

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１／２です

つぶやく埴輪

2005年04月26日 18:02

悩んだらパターンを書き出してみましょう。はずれの扉をＹ，Ｚと仮定します。私が当たりの扉を選んだ場合、司会者はＹとＺのいずれかを開ける組み合わせがあります。私がはずれの扉を選んだ場合、司会者が開ける扉は開いていない方の扉です。書き出してみると…。当，Ｙ，Ｚ私，司，－私，－，司－，私，司－，司，私見て解る通り、司会者が選んだ後に扉を変えても、当たりと外れの扉を引く組み合わせは同数あります。つまり、確率は１／２なのです。

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追記

つぶやく埴輪

2005年04月26日 18:18

数学屋さんの説明ですが、＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊最初に自分が選んだドアをＡ、残り２つを便宜的にＢ、Ｃとします。この時点では車がＡ、Ｂ、Ｃどれに入っているかは1/3ずつです。司会者は車がＢに入っている場合はＣ、Ｃに入っている場合はＢを開けます。そして最初に当たりを引いていた場合は、仕方ないから司会者はＢ、Ｃいずれかを無作為で開けます。つまり、当たりがＡで、司会者がＢを開ける : 1/6 当たりがＡで、司会者がＣを開ける : 1/6 当たりがＢで、司会者がＣを開ける : 1/3 当たりがＣで、司会者がＢを開ける : 1/3 となります。＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊以上引用当たりがＢで、司会者がＣを開ける : 1/6 当たりがＣで、司会者がＢを開ける : 1/6 ですね。

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モンティ・ホール・ジレンマですね

はる

2005年04月26日 18:26

モンティ・ホール・ジレンマと言われる有名な問題です。結論としては「変えたほうが確率的に良い」です。説明は上のほうの方が丁寧に説明してくれてるので割愛します。５０％５０％と感じてしまいますよね。直感的には。

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＞フィフティフィフティさん

もも

2005年04月26日 18:30

変わらないでいいという答えにたどり着いたうえで転職とまでおっしゃってるならば、それは結構恥ずかしいですよ･･･

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おお

たえたえ

2005年04月26日 19:11

ぱぼさんの文うまいですね。なるほどなあ。

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実験してみました

一家に一台

2005年04月26日 19:29

簡単なスクリプトを作って１０万回ほどループさせてみました。 1.「常に変更しない」 2.「常に変更する」をそれぞれ行ったところ、 1では33441回で当たり 2では66882回で当たりとなりました。

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連投すみません。

たえたえ

2005年04月26日 19:31

うっかり流してしまいました。私低脳でしたね。当たる確率は0か1/3か1/3なので2/3だから選びなおした方が確率としては高い、という話なのね。まあ0の可能性もあるから実情にはそぐわないのでは、という話は脇に置いておいて。

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おやおや。

うるるん

2005年04月26日 19:38

皆さん、いい感じに騙されてますね。ドアが100個に増えても200個に増えても一緒ですよ。司会者が残りのドアを開けた後の状態は、最初に車のドアを選んでいようが、ヤギのドアを選んでいようが、「車のドア１つとヤギのドア１つ」になっていることに変わりありません（勿論、どっちが車かは分かりません）。この状態（ドアＡ、Ｂとする）で、「選びなおさない」ということは「ドアＡを選ぶ」、「選びなおさない」は「ドアＢを選ぶ」ということと同じです。なので、選びなおそうがなおすまいがどちらも1/2、最初にどのドアを選んでいても一緒です。

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なるほど！

パンタライモン

2005年04月26日 20:09

納得しました！私も最初は五分五分だと思ったのですが、最初の選択でヤギと車のそれぞれを選ぶ確率が、そのまま裏返るということですね。つまり最初にハズレを引く確率が高いほど、２回目に移動した方が有利になると。興味深い問題でした。

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あはは

おなじだよ

2005年04月26日 20:27

ABCのうち、最初にAを選んだとして、A,B,Cそれぞれ車のドアである確率は1/３。司会者がBのドアを開けてヤギだったら、Cのドアは1/2の確率で車がある。でも、その時点でAのドアも1/2の確率で車があります。ドアが100でも同じ。その都度選べる全てのドアは、最初1/100の確率で、次に1/99、1/98……1/2と、等しい確率で車があります。ドアが一つ開けられるごとに、自分が選んでいない方のドアが当たりである確率は上がりますが、自分の選んだドアが当たる確率も、選んでいないドアと同じだけ上がります。自分の選んだドアだけ最初の確率だと錯覚してはいけません。

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極端さんとばぼさんの例でも

ネ子

2005年04月26日 21:04

トピ主です。皆さん、レスありがとうございます！いまだに、替えた方が有利になる確率の仕組みがよくわからないままです。ドアが100あって、司会者が98開けたことにしたらどうか、という例ですが、司会者はヤギと知ってて開けるので、何枚ドアを開けようと、結局残り２つのドアの車かヤギかの可能性は五分五分という気がします。ドアが３つの題で、車が隠れている確率がどのドアも１/３、司会者がひとつ開けた時点で、最初に選んだドアの確率が１/３のままなら、残りのドアの確率も１/３のままなので、五分五分なんじゃないかなあ… 私にはどうも、替えた方が有利になる、というのはなにかのひっかけのような気がするのですが… 他に説明の方法がありましたら、ぜひ宜しくお願いします。

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数学者もひっかかった

おみそ

2005年04月26日 21:44

問題文を言い換えましょう。ドア１枚とドア２枚、どちらかのグループに当たりがあります。ドア２枚のグループは、正解を知ってる者がハズレをひとつ潰してくれますから、２枚のほうに当たりが含まれていさえすれば、確実に当たりを得る事が出来ます。さて、どっちのグループを取るほうが有利ですか。この問題は、司会者が正解を知っているかどうかで答えが変わります。司会者も正解の場所を知らなかった場合、開けたドアがハズレなら、そのドアが当たりかもしれなかった確率 1/3 が、残りのドアに均等に分配されます。これなら、残りのドアはそれぞれ 1/2 という事になりますね。しかし、司会者はハズレと知った上でハズレを開けるので、分配されるべき確率はゼロです。変動は起きません。依然、２枚だったグループのほうが、2/3 の確率で当たりを持っている事になります。この問題はモンティホールのジレンマと呼ばれ、当初は本職の数学者達でも、1/2と錯覚する方が多かったらしいです。解説しているサイトもたくさんあるので、google等で”モンティホール”を検索してみてください。

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どっちも同じ

神戸っ子

2005年04月27日 02:09

どう考えても、司会者がヒントを出しているわけでないので、ドアを変えても変えなくても車にあたる確率は同じです。想像してみてください。100枚のドアがあって、司会者が98枚のドアを開けました。全てヤギのドアでした。残りは、自分が前に立っているドアともう一枚。ここに遅れて会場に到着した人がいます。何をしているか聞かれて手短に「2枚のドアのどちらかの後ろに車があって、どっちを選ぶか迷っている」と答えました。このとき、もし遅れてきた人が参加できたとしたら、どうして自分が立っていないドアのほうが車に当たる確率が高いのでしょう？本のタイトルが挙げられていましたが、人は確率にだまされやすいという話ではありませんか？

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変えたほうがよいのですか？

数学は苦手

2005年04月27日 11:24

２つのドアのうち、どちらかが車でどちらかがヤギとわかった時点で確率は五分五分、どちらのドアの前に立っていようと当初の確率３分の１が２分の１に高まっただけではないのですか？選ぶドアを変えても変えなくても車が当たる確率は２分の１なのでは？「変えたほうが当たる確率が高い」理由がわかりません。残されたドアだけ車が当たる確率が高まったのでしょうか。

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