名を継ぐ者が居ない事とはどういう事か教えてください。

結婚を考えている彼がいます。
私の父は努力が認められて有り難い事に認められた人で、業界の中では世に名を残す事ができました。（進行形）
私が結婚して名字が変わると、実家の名をなのる者が居なくなります。
当人の父はどう思っているか知りませんが、母は「父の名を受け継いで未来につなげていって欲しい。」と言っています。養子縁組ではないです。
でも結婚を考えている彼の家は、彼の名を名乗って欲しいと言っています。

私はまだ若輩者なので、跡取りや名を残すこと、墓守など良く分かりません。
名を受け継ぐものが居なくなり私の両親の代でその名が終わってしまったとしても、実の娘や私の子、その子ども、、、がお墓を守っていき、父を始めとする祖先の事を語り継ぐのと、実際妻の姓を名乗って名を残すのでは重みが違うのでしょうか？

父は男兄弟がいるので厳密に言うと名は残ります。
ただ、父が作った家族単体で考えると名は終わってしまいます。

親や祖父母の立場に立てないので、跡取り？名が消えてしまう事の重大さが全く想像できません。
地域や個人で考え方は違うと思いますが、名が終わってしまうとはどういう事か教えてください。