結婚する前のお互いの家族への挨拶について

私はこの秋４１歳になった独身、結婚歴なしの女です。恥ずかしながら、この度３年ほど交際している彼４５歳と結婚する事になりました。２人での話が具体的になり、彼からも「家においでよ」と何度も言われていました。環境は７７歳の母親と２人暮らしの彼の家に、私が嫁に行くという事になる予定です。隣には三女であるお姉さん夫婦（子供なし）が新築一戸建に住んでいます。彼は末っ子長男です。彼ととある産業祭に行ったら、偶然にも母親とお姉さん夫婦もいらしていて（皆さんそういうイベントが好き）、私は勇気を出して挨拶ぐらいしようと思い彼と相談して、彼が私を紹介してくれて、短い時間でしたがなごやかに皆さんと立ち話が出来ました。すごく感じの良い方達でした。それ以来、彼の母親から、私を家に連れてこいと言うらしいのです。そして結婚の挨拶に関しては、私が彼の家にまず行き、彼の母やお姉さん達と茶飲み話でもした後、改めて彼が手土産を持って私の両親に挨拶しに来るのが決まった順番だそうです。今どき順番は様々だと思いますが、どちらの家が先とか、世の中のしきたりみたいのってあるんでしょうか。色々とアドバイス頂けたら幸いです。