【算数】｢割り切れない｣の概念を教えて下さい

レス36

（トピ主 2 ）

nuts

2011年12月16日 16:47

話題

今30代ですが、中学の頃からの疑問で、数学教師に聞いてもわからず、以来この歳までひそかに温めてきた疑問があり、ふと思い立ちトピを立てました。

唐突ですがイメージして下さい。

｢直径10cm、長さ30cm、重さ1kg｣の円柱がある。
これを長さ10cmずつに切ると、ひとつ当たりの重さは何kgになるのか。

学校では｢0.333・・・kg｣となり割り切れない、と習いました。
でもこのような例で考えると｢物理的には割り切れるのではないか｣と思うのです。

もしくは例のようなサイズかつ重量の物体は存在し得ないのか。
あるいは10cmずつにカットして割り切れたように見えても、実は分子レベル(?)では割り切れず｢0.333・・・4kg｣とかになっているのか。
カットした3個を超精密な計りで測定したらそれぞれ何gと表示されるのか。

せめて｢割り切れない｣でなく｢(値を)書き表せない｣なら腹に落ちるのですが。

賢い方には愚問かもしれませんが、どなたか教えてください。

トピ内ID：6215781493

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割り切れるか、じゃなく割りきる

chacha

2011年12月17日 10:36

実生活では割り切りもひつようですね。数学は厳密な数値を表すわけですから、割り切れない、というしかありません。ほかにも点や線の概念もトピ主さんには割り切れないことでしょう（点は位置しかなく面積はない）。原子核レベルでは面積や体積があるのではないか、とか。でも実際ではなく概念ですから、割り切って考えてください。

トピ内ID：4720678739

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ただの算数の遊びです。

競馬ファン

2011年12月17日 13:30

1/3Kgです。意味のないことで。アキレスと亀の競争みたいなものですね。 100m先に亀がいて、用意ドンで、同じ方向へ走る。アキレスが100m走る間に亀は10m進んでいて、その10mをアキレスが走る間に、亀は1m進んでいて、その1mをアキレスが走る間に、亀は10cm進んでいてアキレスは亀を追い越すことができないなんちゃって

トピ内ID：5422697254

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除算の「割る」と物を「割る」ことの違い

今回も匿名にて

2011年12月17日 14:00

題名の通りです。「10を3で割る」計算の結果を、10進数で正確に書き表せないことを「割り切れない」と呼んでいるだけで、何も物理的に「割れない」わけではありません。「3等分」という表現もありますから、引っかかるならこちらをお使いになればよろしいかと。

トピ内ID：4210633286

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10進法で計算するから割り切れない

🎂

ルナ

2011年12月17日 14:54

直径10cm高さ30cm重さ1kgの物体をきっちり３分割するなら、底面の円を120度で割って、ショートケーキのような扇形に切ればいいですが…。計りの目盛りは四捨五入して、ニアリーイコールにするしかないです。

トピ内ID：5298805395

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「割り切れない」の概念は「計算の途中」です。

ごきげん

2011年12月17日 15:55

質問）カットした3個を超精密な計りで測定したらそれぞれ何gと表示されるのか。回答）それでも表示は｢0.333…kg｣でしょう。 1個の円柱を三等分すると　1÷3＝1/3個　【確定】 1ｋｇの円柱を三等分すると　1÷3＝1/3ｋｇ　【確定】では1/3ｋｇは何ｋｇ？　　　　1÷3＝0.333…【計算の途中】であって「0.333…ｋｇと【確定】」した訳ではない。　私達は「1/3＝0.333…」と考えがちですが、正しくは「1/3≠0.333…」です。だから『1/3を3倍したら、1になるが、1/3の0.333…を3倍しても、0.999…になって、1にならない』のは当然。『1/3　は　0.333…　ではない』から。「割り切れない」の概念は「計算の途中」「分割すると余分なものが出てしまう」「納得できない」でしょう。 1/3個が「0.333…ｋｇ」と確定していない以上、｢0.333…4kg｣　の出る余地もありません。｢(値を)書き表せない｣ではなく、「0.000…1ｋｇ」の値は無視していい、「書き表す必要はないと割り切った」のです。

トピ内ID：7862848525

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１キロを１より大きい数で割る時点で数学的には割り切れない

常夜鍋

2011年12月17日 18:35

「ひとつ当たりの重さ」って事は、３つを同じ重量に分ける前提？だとしたら、数学的には無理では。１って素数だと思います。つまり、１と自分自身以外で割り切れない数ですよね。だから、直径だの長さだのは関係無く、１キロの重量の物体を１以外で割る時点で、数学的には割り切れないと思います。（仕事で物理設計する時１は素数として扱ってるので、専門的に？でも個人的に１は素数）　物理的には競馬ファン様の言われる通りです。３０割る１０は３なのでスパスパ切れば、重量は1/3キロ。

トピ内ID：7611162411

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数学的には

🐧

二児の父

2011年12月17日 23:50

ごきげんさんのレスに反発するようで申し訳ないですが、数学的には、1=0.999…となります。ただし、…の部分が無限に続くことが条件です。記述の見た目上は、1>0.999…と勘違いしそうですが、実がそうではありません。 1と0.999…の差を極限を用いてあらわすと lim(1/10^n)となり、この極限値は「0」となるからです。 n→∞ トピ主さんの「割り切れない」というのは、"小数を用いては"｢(値を)書き表せない｣ということです。

トピ内ID：2161981534

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数は小数だけじゃない

宝くじファン

2011年12月18日 12:31

割り切れないのではなく「有限小数で表されない」というだけですね。小数で表そうとしたら、永遠に３が続きますね。そのような数は「３分の１」と分数で表せばいいのです。これが正確な表し方です。数の中には、小数で表しても永遠に桁数が続き、しかも分数で表すこともできない数も存在します。あと、余談ですが、腹に落ちるではなく、「腑に落ちる」ですね。常夜鍋さん＞１は素数とはされていません。

トピ内ID：5797700808

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「割り切れない」とは？

おじさん

2011年12月18日 15:00

割り算を続けた時どこかで余りが０になって終了する事を「割り切れる」と言い、どこまでも余りが続いて割り算が終了しない事を「割り切れない」と言います。１を３で割れば商の小数点以下に３が立って余りが１、これが永遠に続くので学校の先生は「割り切れない」と教えました。これを「１を３つの等しい部分に割る事はできない」という意味にとろうとするから話がおかしくなります。

トピ内ID：0846442239

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数学と物理

数学大好き

2011年12月18日 15:20

　まずは、ごきげん　さんへ。　間違っていますよ。 1/3＝0.333… です。　決して、 1/3≠0.333… ではありません。　それこそ学校で習ったでしょう？ 1＝0.999…　だと。（両辺を３倍してください）（わざと嘘を言っているのだとすれば、空気を読まずにすいません）　トピ主さんへ。　あなたが疑問に思われていることは、数学と物理がごちゃごちゃになっていることが原因ではないでしょうか。　数学は「数」の学問であるので、「ｋｇ」や「ｍ」なんて考えはありません。まして「1」や「2」に限らず、10進法や2進法とも定めないまま「ａ」等の記号で「数」を表現します。　しかし、始めは「概念」のような考え方ができないので、具体的な例えを必要とします。それが「算数」です。　その疑問は、物理の疑問であるのに、数学の「割り切れる」「割り切れない」という表現の問題でしかない、全く関係のない話が混ざっています。おそらく算数の影響でしょうが、全く関係のないことです。　また、その円柱の分子が３の倍数個でなければ、３等分できないと思います。（最小単位を分子とする）

トピ内ID：2131057218

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その手の解答の「表記法」も習った記憶が。。

☂

お化けギャルソン

2011年12月18日 15:32

その問題なんですが、円周率のように「格桁の数字が全く別個な状態」と違い、「０.３３３３３３３３３‥‥」と【３が果てしな～～く続く“だけ”のもの】。それって、【何桁か３を連ねたあとに、黒い小さな“点”を付随させて、“以下も３の果てしない連鎖であることを表現”する】んじゃなかったですかね？？（中学の時は、そのように習った気がする～）えんえん・えんえん、果てしな～～く「３」を続けた先で、あまりにも不毛なので「分割処理できたと“見なす”」って解釈だった気が、うっすらと。。

トピ内ID：5185130698

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一応、大学の数学課程卒業・・・

🐷

そばがら枕♂

2011年12月18日 16:19

「割り切れるか否か」というのは、ルールの問題です。このルールは、「割る数も割られる数も答えも、すべて整数」の場合だけ、成立します。さて、本題は、トピ主さんは、延々と数が続くのが気になるってことですね。 10÷の結果なら、0.333....で、ちゃんと実在する数です。数学的には有理数と呼ばれるものです。中でも、同じ数の並びが繰り返し現れるものは、循環小数と呼ばれます。あと、横で失礼ですが、、二児の父さんがご指摘の、1=0.999...は、以下の表現もおもしろいと思います。 1/3 = 0.33333.... 2/3 = 0.66666.... (+ -------------------- 1 = 0.99999....

トピ内ID：1577487857

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定義が

田中

2011年12月18日 16:31

それは10cmという定義があるからです。たとえば10cmを3で割るとします。3.3333……と続いてわりきれませんよね？でも実際は割り切れないということはないんです。ただ10という数字が3でわりきれないだけで。この10cmを新しい単位で定義したとします。３ｃｃｍとかで。そしたら割り切れますよね。１ｃｃｍで。数学は最初に定義から入るのでそこを否定したら終わりなのですが、そういうことです。

トピ内ID：8636727900

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二児の父さま

今回も匿名にて

2011年12月18日 16:31

差の「極限値」が0になるからといって、0.9999...が1と等しくなるわけではありませんから、、「数学的には」と大上段にかまえられるならば、むしろ、ごきげんさんの方が正しい説明では？

トピ内ID：4210633286

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10進小数点数だから

えるま

2011年12月18日 17:07

数学的に存在し得ます。重さは1/3kgです。 0.3… と無限に続くのは10進数で表示するからです。小数点以下第1桁で 0.3 まで近づき 2桁で 0.33 まで近づき，ということを表示上無限にやっているのです。 3進小数点数で表せば "0.1" とぴったりの数になります。これは 1/3 を意味し，3進数では 0.1+0.1+0.1＝1 です。 10等分する場合はどうでしょうか。0.1kgぴったりの，「割り切れた」数になると思い込んでいませんか？ 10進数ならそうですが，2進数でも3進数でも有限桁でぴったりには表せず，無限（循環）小数になります。このように，小数表示だけの問題なのです。

トピ内ID：9663017300

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興味ありますね

😀

鯨夢

2011年12月18日 17:59

昔、タイガー計算機というものがありました。構造は簡単で掛け算とわり算をする機械でした。（既に博物館ものですが・・笑）掛け算は足し算、わり算は引き算だと知っていましたか？この機械は初めに決めた値をハンドルを時計回りに１回廻すと同じ数を足します。２回廻すとＸ２となります。反時計回りに廻すと反対に同じ数を引きます。１０を３で割ると１回廻すと７になります。３回廻すと１が残ります。この機械の面白いところは何回でも廻せるのです。どうぞ廻してください。１を消すためには何回廻せばよいでしょうね。これを使えば一つ当たりの重さを決めることが難しいことが判ると思います。（きっと生きている間は？）トピ主のいうことも判ります。カットといってもカットするには精密な道具か、又はカットすると切り粉がでます。そう言う意味では計れば物体は存在するのでしょうね。亦、有効数字という考え方もありますね。理論値と実測値の違いも面白いですね。私は理・物理の出身ですが昔はコンピュータの代わりにこんな道具を使って計算だけでなく、物事を考えていたんです。納得では無く疑問も大切ですね。

トピ内ID：9008921366

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皆さまレスありがとうございます

nuts トピ主

2011年12月19日 10:13

宝くじファン様のレスまで拝見いたしました。それぞれに若干論理の異なるご意見もありましたが、まず｢今回も匿名にて｣様のレスが私としてはとてもわかりやすかったです。やはり｢10進数の小数では正確に書き表すことができない｣ことを｢割り切れない｣と言っている、ということでしょうか。また、これとリンクして、｢２児の父｣様のレスがさらに新しい発見を与えて下さいました。厳密には｢1＝0.999・・・｣なのですね。なぜ｢1＝1.0｣ではないのかまでは相変わらず私の理解を超えていますが、｢1＝0.999・・・(無限に続く)｣であるならば、｢割り切れる｣ことになっているはずの｢1÷2｣のような式の解でも、｢0.5｣という表記は、一定の妥協を含んだもの、ということになるのでしょうか。・・・話が逸れましたが、｢物理的には割り切れても、数値として割り切れない(書き表せない)｣ケースが存在するということが、理解できてきました。引き続き、トピの疑問について補足して下さる方がいらっしゃればよろしくお願いいたします。

トピ内ID：6215781493

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追加説明と具体例

数学大好き

2011年12月20日 12:32

　数学はあくまで「概念」を扱います。 1/3は「３等分」という概念なのであって、現実に、物質を３等分できるかどうかは、物理の世界の話です。　目の前の、本質的でない“数字”に惑わされないように。（だから、1/3＝0.333…を３倍すれば元に戻る）　また、類例ですが、長さには「ｃｍ」や「ｍ」だけでなく、「寸」や「尺」や「ヤード」等の単位があります。　「１寸」「１尺」「１ヤード」のどれも、「ｍ」で表現しようとすると、「割り切れない」表現になりますが、実在する長さです。　単に「単位」をそのように決めているだけの、単なる表現の話です。　６０進法である時間ならば「１分」を３で割っても、「２０秒」と「割り切れます」。地球上のどこかにあるかもしれない、１０進法の時間を扱う文化の国なら「割り切れない」でしょう。今回も匿名にて　さん　冗談もほどほどに。悪趣味ですし、トピ主に失礼ですよ。（トピ主さんへ。二児の父さんの説明は、「1＝0.999…」の証明として代表的なものの一つです。人を惑わせて喜ぶ輩の言うことに、混乱なされないよう、お気を付けを。）

トピ内ID：4473298219

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1=0.99999...

チョ便

2011年12月19日 12:43

今回も匿名にて様、 >差の「極限値」が0になるからといって、0.9999...が1と等しくなるわけではありませんから 1=0.99999...ではないのなら、1 と0.9999...の間に存在する別の数字があるということですよね。それは、どんな数字ですか？

トピ内ID：6302170646

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1>0.999・・・では矛盾がでる

🐧

二児の父

2011年12月19日 13:00

数字の見た目上は1>0.999…のように見えますが、そうだと矛盾が出ます。 1 > 0.999…と仮定します。とすると、1-0.999…を計算すると何らかの正の数値があることになります。（この値をεとします） εは1/10^n+1より大きく1/10^nより小さい数値（nは正の整数）の範囲の中にあることがいえます。一方δという数値を1/10^n+2とします。この値は1-0.999…より大きいはずです。（0.999…の…は無限のため、9はn+2個以上ある）とするとε＜δとなり、矛盾が生じます。以上から、1 > 0.999…はウソだということになってしまうんです。ただ、そばがら枕♂さんの書き方の方が直感的で分かりやすいですね。横ですがそばがら枕♂さんへイプシロンデルタ法で躓きませんでしたか？私はそこで躓いて、数学への興味を失ってしまいました。。。

トピ内ID：2161981534

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それ以前に

つかさ

2011年12月19日 14:34

1kgとは何か。どこまで保障される値かという話を考えた方が良いでしょう。数学的には1kgは1kgなのでしょうが、実際にはキログラム原器をもとにかなりアナログ的に1kgが決定されています。 2007年にはキログラム原器の質量が0.05mg減ったのが確認されました。今年にはキログラム原器自体が廃止の方向にきまりました。今後はプランク定数かアボガドロ数を元に決めるような方向らしいです。ちなみに0.05mgというと0.0000005kgです。 0.333・・・なんて考えるのもあほらしいズレですよね。そういう意味でもう大事件です。あとちょっとズレますが、長さや時間には最小単位があるとも言われています。プランク長やプランク時間です。こちらも興味あったら調べて見てください。

トピ内ID：6806115075

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設問が不親切では？

aki

2011年12月19日 18:12

　普通このような問題で小数で答えを要求する場合、「小数第何位まで求めよ」となっているのが普通のような気がしますがそうでなければ答えは1/3kg だと思います。「物理割的に割る」という意味が、仮に刃物で割るという意味だとすると、割ったとしても検証（測定）する段階で切りかすも同様測定誤差を含む近似値しか得られないと思います。分子レベルという表現をされていますので頭のなかで3つにカットするのであれば「1/3kgの円柱が3つ得られる」、で納得するしかないと思います。　0.3333・・・・とか、0.9999・・・・の問題は、「無限」という考え方で解決（納得）できると思いますので、そちらの分野を調べてみるとまた別の面白いことが出て来ると思います。（例えば部分と全体が1対1で対応してしまうなど）

トピ内ID：4450747181

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書ききれない

中学生

2011年12月19日 20:43

私は別に数学科は出ていませんが、中学校レベルで考えても・・・１÷３は、０．３３３３・・・となって循環少数ですね。０．３の３の上に黒点を付ける表記もあったと思います。私も、１＝０．９９９９・・・だと思っています。１÷３（０．３３３３・・・）×３＝１ですから。０．３３３３・・・は無限循環小数となって宇宙の果てまで行っても書ききれません。この場合の「割り切れない」は数字として書ききれないということだと思っています。どうしてもはっきり表記するなら、３分の１ｋｇで良いと思います。

トピ内ID：0773057177

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有効桁数

アナログ人

2011年12月19日 20:43

１Kgを３で割ると数学上では割り切れません。では、物理的に正確さを追求して３分割してゆくとどうなるか？最後には分子が1個か2個余ることになり、やはり割り切れません。トピ主さんの質問の「超精密な計りで測定したらそれぞれ何gと表示されるのか。」の答えとしては分子１個の質量の差まで、でしょうか。しかし現実の生活、科学計算においても、分子レベルの正確さは必要ありません。目的に合わせた精度＝有効桁数まで計算した数値で十分なわけです。ですから割り切れない数字であっても、必要な精度であればOKと割り切って使うのが算数だと思います。

トピ内ID：0513411134

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『10進数』だから割り切れないだけで。

⚡

榎津

2011年12月19日 20:43

3進数なら当然、割り切れます。トピ本文の問題を、3進数に翻訳すると、「直径101cm、長さ1010cm、重さ1kg｣の円柱がある。　これを長さ101cmずつに切ると、ひとつ当たりの重さは何kgになるのか。」　答え　0.1kg となります。割り切れます。メートル法と10進数（基数１０）とは何の相関関係もないので、この翻訳（基数の変換）は、物理的には全く同じ行為をさしています。＞せめて｢割り切れない｣でなく｢(値を)書き表せない｣なら腹に落ちるのですが。ここまで書いていながら、何が分からないと言いたいのかが分からない。単に、数学用語が気に入らなくて、駄々っ子みたいにイチャモンつけてるだけ。

トピ内ID：3139178482

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1=0.9999....は公理です

🐧

ぼよんご

2011年12月19日 21:55

1=0.9999....は公理です。したがって、トピ主さんの回答は0.3333....です。

トピ内ID：1513640092

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２度目です。

🐷

そばがら枕

2011年12月20日 13:12

二児の父様はい、盛大につまずきましたよ～。だもんで「一応」なんてつけました。閑話休題。 > やはり「10進数の小数では正確に書き表すことができない」ことを「割り切れない」と言っている、ということでしょうか。先の投稿にも書きましたが、「割り切れるか否か」が問題になるのは、計算の範囲が整数の場合だけです。 > なぜ「1＝1.0」ではないのかまでは相変わらず私の理解を超えていますが、どこからこんな疑問が発生するんですか？『なぜ「1≠0.999...」ではないのか』といいたいのかな？ 1=1.0=0.999...ですよ。 > 「0.5」という表記は、一定の妥協を含んだもの、ということになるのでしょうか。遊びとか妥協とか割り切って考えるとか、書いてる人がいますが、そんなわけありません。厳密に正確な表現です。「正確に書き表せない」のも間違いです。延々と続いても、循環する場合は、循環部分を明記すれば、正確な表記になります。ちなみに、三進数について触れていらっしゃる方がいますね。十進数の「3」は、三進数では「10」と表記されるのです。

トピ内ID：1577487857

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引き続きの説明、皆さまありがとうございます。

nuts トピ主

2011年12月20日 13:12

私にとって難解なレスもありがたく読ませていただいています。榎津様のレスまで拝見しました。さて、中学生様のレスで急に理解できたのですが。私は前レスにも書いた通り、なぜ｢1＝0.999・・・｣なのかチンプンカンプンでした。でも確かに｢1÷3＝0.333・・・｣なのだから、それを3倍に戻した｢1｣は｢0.999・・・｣ということになりますよね。思えば既に何人かの方々も多少表現は違えど全く同じことを説明して下さっていたのに、恥ずかしながら今ごろ理解しました。なお榎津様からは｢書き表せないというなら腹に落ちるが、とそこまで書いておいて何がわからないのか、駄々をこねているだけでは｣といったご指摘がありましたが、そうと｢解って｣いたわけではないのです。理屈が解っている方にとっては至極当然のことなのだと思いますが、私自身は散々考えた揚句に｢もしかしてそういうことなのか？｣と思い至るも全く自信はなく、当てずっぽうで書きました。純粋に｢物理的に割り切れるものが、数値としては割り切れない｣ということがあってもそこに何ら矛盾はない、ということが理解できなかった、というだけなのです。

トピ内ID：6215781493

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チョ便さんの補足

宝くじファン

2011年12月20日 13:12

「aとbが異なる実数のとき、必ずaとbの間に（無数の）異なる実数が存在する」といえます。そのうちの１つが（a+b)/2です。これなら直感的に理解できるかとできます。１と０．９９９・・・の間には実数は１つも存在しない（つまり１より小さくて０．９９９・・・より大きい数は存在しない）ので、２つは完全に等しい数ということです。残念ながら、ごきげんさん、今回も匿名でさん、「無限」の概念がつかめていないようです。二児の父さんのお話は一般の方に理解するのは厳しいのでは？私は３行目で躓きました。いきなりよくわからない値εを主語にするから「何で？」と思いましたが、一般に正の実数は（どんな実数でも）ある整数ｎを用いてこう表せるから、よくわからない正の実数εも（もし存在するならば）そのように表せる、そのようなｎが１つ存在するはずとすれば・・・やっぱりわかりにくですかね。

トピ内ID：5797700808

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私も似たような質問をしました

🎶

りりか

2011年12月20日 15:55

トピ主さん、こんにちは。私も中学の時、同じような疑問がわき、先生に質問しに行ったことがあります。 20cm定規を持っていき、「これは何かの技術をもってすれば、正確に3等分できるだろうに、どうして20は3でわりきれないのか」先生の答えは、えるまさんのレスに近かったです。トピ主さんも＞やはり｢10進数の小数では正確に書き表すことができない｣ことを｢割り切れない｣と言っている、ということでしょうか。って言ってますよね。先生の顔や職員室の様子を思い出して、懐かしかったです。

トピ内ID：9589607569

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