体重が心配です。

皆さん、どうぞよろしくお願いします。
２歳児の母親です。

最近、娘の食欲が旺盛すぎて、心配しています。
量も沢山食べるのですが、すぐにおなかがすいてしまうようです。

もともと低体重出産だったため、一歳までは体重は標準以下だったのですが、ここ数カ月の間に一気に体重が増え、このままではそのうち標準枠からはみ出てしまいそうです。

この数ヶ月間、事情があり託児室を利用していたのですが、その期間で体重が激増してしまいました。
どうやら、泣きやませるためにお菓子をずっと与えられていたようです。
無認可、少人数制でした。

現在は事情が解消され託児室は利用していないのですが、とにかく一日中、食べ物を求めて泣きわめきます。
カバンや戸棚も隅々までチェックし、まるで飢えるハンターかのようです（困）

家の中だとずっと泣いてしまうので、気晴らしに外でも、と出かけるのですが、屋外で歩くことを嫌がります。
児童館などでは、おもちゃをひたすらいじくり回すのみで、あまり身体を動かすのは好きではないようです。

食事の量が足りないから間食をしたがるのか？とも思い量を増やしましたが、しっかり食べるけど間食への執着は減りません。
米も好きなので、米太りも心配で、最近玄米に変えました。
食事も、鍋料理や煮物、魚など、野菜中心を心がけています。（肉も献立に加えていますが）

同じく低体重児で幼少期に太ってしまい、今肥満に悩まされている方が周囲に何人かいて、「気をつけないと後々子供が苦労するよ」と言われています。

食欲旺盛なお子さんをお持ちの方々、どうやってコントロールしていますか？
我慢ばかりさせてストレスをためてばかりでは可哀想なので、できるなら食への執着心をやわらげるようにしたいのですが。
どうぞご教示ください。