人違いでケンカ中

祖母が11:30に友達と一緒にいる私と
ある場所で会って目が合ったのに
顔をそむけられたと言われました。
(祖母は認知症になっていません!!びっくりするくらい元気です)

その友達と私はアイスを食べながら
しゃべっていたそうで、祖母が２回
２人の横を通ったけど、どう見ても私だったそうです。

髪の毛も同じボブで服装も私がその日着ていた服装に
そっくりだと言っていました。

私はその場所には行っていません。
別の場所で13:30から友達と遊んでいて
私もアイスを食べて友達としゃべっていました。
それまで家から出ていないことを伝えると
嘘つくな!と怒られました。

弟にちゃんと13:30に私が家を出たと
証言してもらいましたが、ダメでした。
母にも説明してもらいましたが、
ノエルが嘘をついてるの一点張り。

人に会ったら"こんにちは""ありがとう"を言いなさいなど
説教されました。
さらに会った時間を間違えた13:30やったわ。
と言われました。
それでも、もちろん違うと何回も言いましたが
聞いてくれません。

友達に証言してもらうために
今から電話かけると言っても
友達が私をかばって嘘を言うからイヤだそうです。
(祖母は友達に会ったことも話したこともありません。)
レシートはアイスと一緒に捨ててしまいました。
かなり後悔してます…

謝るまで許さないとハッキリ言われました。
母は板ばさみ状態でどちらを信じればいいのか
頭をかかえています。

その場所にいたことにして謝ればいいのでしょうか??
祖母にはよくしてもらってるので仲直りしたいです。
母にも迷惑かけていてすごく申し訳ないです。
でも行動まで私にそっくりな人がいるのは怖い。
本当にこんな事ってあるのでしょうか??

長文失礼しました。