ひんやりスカーフの臭い対策

夏の暑さ対策でここ数年見かけるようになった、濡らして使うスカーフのお手入れについて教えてください。

色々なメーカーで販売されているので、他社さんは原理が違うのかもしれませんが、私が購入したのは乾燥時は単なる短い鉢巻で、首にあたるところに保水ジェルが入っていて水を吸わせて使用、水の気化熱でヒンヤリ感を得るタイプです。

メーカー説明のお手入れ方法通り「使用後は水洗いして陰干し」をして、毎日使用していたら、一週間位で生乾きの洗濯物のような、室内干しの洗濯物の臭いがし始めました。
※洗剤は使うなと説明書に書いてあったので水洗いのみしてます。

保水ジェルが入っているので夜→朝の半日では乾かず、生乾きのまま新たに水につけて使っていました。
これでは臭いが出ても仕方ないと思い、
完全に乾いてから使えるように２枚追加購入してローテーションしましたが、元々の１枚だけでなく、新規追加分も使用しているうちに臭うようになってしまいました。
陰干しもやめ普通に外で干していますがなにしろ保水力があるので完全に乾くまで２日以上かかっているのが敗因だと思います。

このタイプのスカーフお使いの方、どのようなお手入れされているのでしょうか？
我慢するしかないのでしょうか？
アドバイスいただけると嬉しいです。

※メーカーのHPによると、洗剤が使えない理由はジェル部分が洗剤も吸収してしまい抜けないので、肌荒れの原因になると書かれていました。